题目
给定一个非空的正整数数组和一个目标值S,如果为每个数字添加“+”或“-”运算符,请计算有多少种方法可以使这些整数的计算结果为S。例如,如果输入数组[2,2,2]并且S等于2,有3种添加“+”或“-”的方法使结果为2,它们分别是2+2-2=2、2-2+2=2及-2+2+2=2。
分析
在分析解决这个问题之前,需要先做数学运算。首先数组元素都是正整数,为输入的数组中的有些数字添加“+”,有些数字添加“-”。如果所有添加“+”的数字之和为p,所有添加“-”的数字之和为q,按照题目的要求,p-q=S。如果累加数字中的所有数字,就能得到整个数组的数字之和,记为sum,即p+q=sum。将这两个等式的左右两边分别相加,就可以得到2p=S+sum,即p=(S+sum)/2。
上面的等式表明,如果能够找出数组中和为(S+sum)/2的数字,并给它们添加“+”,然后给其他数字添加“-”,那么最终的计算结果就是S。因此,这个题目等价于计算从数组中选出和为(S+sum)/2的数字的方法的数目。这是和前面的面试题非常类似的题目,是一个典型的0-1背包问题,可以用动态规划解决。
可以用函数f(i,j)表示在数组的前i个数字(即nums[0…i-1])中选出若干数字使和等于j的方法的数目。如果数组的长度为n,目标和为t,那么f(n,t)就是整个问题的解。
解
public class Test {
public static void main(String[] args) {
int[] nums = {2, 2, 2};
int result = findTargetSumWays(nums, 2);
System.out.println(result);
}
public static int findTargetSumWays(int[] nums, int S) {
int sum = 0;
for (int num : nums) {
sum += num;
}
if ((sum + S) % 2 == 1 || sum < S) {
return 0;
}
return subsetSum(nums, (sum + S) / 2);
}
private static int subsetSum(int[] nums, int target) {
int[][] dp = new int[nums.length + 1][target + 1];
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 1; i <= nums.length; i++) {
for (int j = 1; j <= target; j++) {
dp[i][j] += dp[i - 1][j];// 不选择元素nums[i-1];
if (j >= nums[i - 1]) {
dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]]; // 选择元素nums[i-1];
}
}
}
return dp[nums.length][target];
}
}