本算法是在算法31的基础之上进行推理总结的，因此，在看本章之前，必须先去了解算法31，否则会觉得莫名其妙。
算法31的推理过程：
如果 x = y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6. x1 = y2 + y3 + y4 + y5 + y6
那么 x = y1 + x1.
根据以上推导公式，可以对时间复杂度进行优化。
之前我们对从左往右模型进行过总结，即：
1. 针对固定集合，值不同，就是讨论要和不要的累加和。算法30有完整的例子
2. 针对非固定集合，面值固定，张数无限。口诀就是讨论要与不要，要的话逐步讨论要几张的累加和。算法31有完整的例子
今天，我们讨论最后一种情况，即：
3. 针对非固定集合，面值固定，张数随机。也就是说有可能只有0张，1张，2张，甚至也是无限的情况。口诀就是在口诀2的基础之上要去除多余项
题目：
arr是货币数组，其中的值都是正数。再给定一个正数aim。 每个值都认为是一张货币， 认为值相同的货币没有任何不同， 返回组成aim的方法数 。
例如：arr = {1,2,1,1,2,1,2}，aim = 4
方法：1+1+1+1、1+1+2、2+2 一共就3种方法，所以返回3。
也就是说，所有的1都是面值相同的，没有什么区别。
举个例子：给你6个1毛钱硬币，一个5毛钱硬币，要求你列举出能凑成1元钱的组合。答案肯定是1种呀，你不可能说每个1毛钱都是不一样，6个一毛轮流拿掉一个，剩余的和5毛钱组合，总共有5种组合方法吧。
下面说一下今天的推导公式。
假设某一行的value为3， 张数为2，aim还是15.
那么基于算法31，我们可以对算法32进行假设：
是不是会有人问, 算法31不是会把y4，y5，y6等等情况都列举出来的吗，为什么本章算法就假设了value为3，张数只为2的情况呢。因为本算法每个面值的张数是不固定的，随机的。如果张数足够多，那逻辑就和算法31一样了。
思路：
1. 首先，我们需要对数组的每个面值以及对应的张数进行统计
2. 在讨论要不要，以及要几张的时候，需要在算法31的基础之上考虑实际可能存在的张数。
递归代码：
static class Info {
int[] value;
int[] zhangshu;
Info (int[] k, int[] v) {
value = k;
zhangshu = v;
}
}
public static Info getInfo (int[] arr) {
Map map = new HashMap<Integer, Integer>();
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
int v = arr[i];
if (map.get(v) != null) {
map.put(v, (int) map.get(v) + 1);
}
else {
map.put(v, 1);
}
}
int[] k = new int[map.size()];
int[] v = new int[map.size()];
int index = 0;
for (Iterator iterator = map.keySet().iterator(); iterator.hasNext();) {
int key = (int) iterator.next();
int value = (int) map.get(key);
k[index] = key;
v[index++] = value;
}
return new Info(k, v);
}
public static int ways(int[] arr, int aim)
{
if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {
return 0;
}
Info info = getInfo(arr);
return process(info.value, info.zhangshu, 0, aim);
}
public static int process (int[] value, int[] zhangshu, int index, int aim)
{
//面值数组结束了
if (index == value.length) {
return aim == 0 ? 1 : 0;
}
int ways = 0;
for (int zhang = 0; zhang <= zhangshu[index] && zhang * value[index] <= aim; zhang++) {
ways += process(value, zhangshu, index+1, aim- zhang * value[index]);
}
return ways;
}
动态规划版本：
//动态规划
public static int ways2(int[] arr, int aim)
{
if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {
return 0;
}
Info info = getInfo(arr);
//数组值
int[] value = info.value;
//每个值对应的张数
int[] zhangshu = info.zhangshu;
int[][] dp = new int[value.length + 1][aim + 1];
//最后一行的初始值
dp[value.length][0] = 1;
//数组值为行
for (int row = value.length - 1; row >= 0; row--) {
//aim为列
for (int col = 0; col <= aim; col++) {
int ways = 0;
for (int zhang = 0; zhang * value[row] <= col && zhang <= zhangshu[row]; zhang++) {
ways += dp[row + 1][col - (zhang * value[row])];
}
dp[row][col] = ways;
}
}
return dp[0][aim];
}对动态规划进行时间复杂度优化
//动态规划 + 时间复杂度
public static int ways3(int[] arr, int aim)
{
if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {
return 0;
}
Info info = getInfo(arr);
//数组值
int[] value = info.value;
//每个值对应的张数
int[] zhangshu = info.zhangshu;
int[][] dp = new int[value.length + 1][aim + 1];
//最后一行的初始值
dp[value.length][0] = 1;
//数组值为行
for (int row = value.length - 1; row >= 0; row--) {
//aim为列
for (int col = 0; col <= aim; col++) {
/**
* 此处的代码，就是 x = x1 + y1.
* 即包含了多余的值了
*/
dp[row][col] = dp[row + 1][col];
if (col - value[row] >= 0) {
dp[row][col] += dp[row][col - value[row]];
}
/**
* row代表推理的value， col代表列的下标，即代表aim的值
*
* 如果col就是我们想要的值，那么我们必须根据张数往前找。
* 如果value为3，张数为2，col为15，
* 那么我们就应该得到下一行的列下标为 15, 12, 9的值。而
* 多余的下标就是下一行列为6的值。
*
* value数组代表面值不同的数组: 此处的value[row] = 3.
* zhangshu数组代表当前面值为3的张数。此处zhangshu[row] = 2.
* 那么多余的位置不就是：
* 15 - 3 *（2+1） = 6 吗？
*/
if (col - value[row] * (zhangshu[row] + 1) >= 0) {
//既然是多余的，那当然要减去多余的推导了。
dp[row][col] -= dp[row + 1][col - value[row] * (zhangshu[row] + 1)];
}
}
}
return dp[0][aim];
}
完整代码以及添加对数器进行测试
package code03.动态规划_07.lesson4;
import java.util.HashMap;
import java.util.Iterator;
import java.util.Map;
/**
* arr是货币数组，其中的值都是正数。再给定一个正数aim。
* 每个值都认为是一张货币，
* 认为值相同的货币没有任何不同，
* 返回组成aim的方法数
* 例如：arr = {1,2,1,1,2,1,2}，aim = 4
* 方法：1+1+1+1、1+1+2、2+2
* 一共就3种方法，所以返回3
*/
public class ContainWaysLimitCountPaper_06 {
static class Info {
int[] value;
int[] zhangshu;
Info (int[] k, int[] v) {
value = k;
zhangshu = v;
}
}
public static Info getInfo (int[] arr) {
Map map = new HashMap<Integer, Integer>();
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
int v = arr[i];
if (map.get(v) != null) {
map.put(v, (int) map.get(v) + 1);
}
else {
map.put(v, 1);
}
}
int[] k = new int[map.size()];
int[] v = new int[map.size()];
int index = 0;
for (Iterator iterator = map.keySet().iterator(); iterator.hasNext();) {
int key = (int) iterator.next();
int value = (int) map.get(key);
k[index] = key;
v[index++] = value;
}
return new Info(k, v);
}
public static int ways(int[] arr, int aim)
{
if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {
return 0;
}
Info info = getInfo(arr);
return process(info.value, info.zhangshu, 0, aim);
}
public static int process (int[] value, int[] zhangshu, int index, int aim)
{
//面值数组结束了
if (index == value.length) {
return aim == 0 ? 1 : 0;
}
int ways = 0;
for (int zhang = 0; zhang <= zhangshu[index] && zhang * value[index] <= aim; zhang++) {
ways += process(value, zhangshu, index+1, aim- zhang * value[index]);
}
return ways;
}
//动态规划
public static int ways2(int[] arr, int aim)
{
if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {
return 0;
}
Info info = getInfo(arr);
//数组值
int[] value = info.value;
//每个值对应的张数
int[] zhangshu = info.zhangshu;
int[][] dp = new int[value.length + 1][aim + 1];
//最后一行的初始值
dp[value.length][0] = 1;
//数组值为行
for (int row = value.length - 1; row >= 0; row--) {
//aim为列
for (int col = 0; col <= aim; col++) {
int ways = 0;
for (int zhang = 0; zhang * value[row] <= col && zhang <= zhangshu[row]; zhang++) {
ways += dp[row + 1][col - (zhang * value[row])];
}
dp[row][col] = ways;
}
}
return dp[0][aim];
}
//动态规划 + 时间复杂度
public static int ways3(int[] arr, int aim)
{
if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {
return 0;
}
Info info = getInfo(arr);
//数组值
int[] value = info.value;
//每个值对应的张数
int[] zhangshu = info.zhangshu;
int[][] dp = new int[value.length + 1][aim + 1];
//最后一行的初始值
dp[value.length][0] = 1;
//数组值为行
for (int row = value.length - 1; row >= 0; row--) {
//aim为列
for (int col = 0; col <= aim; col++) {
/**
* 此处的代码，就是 x = x1 + y1.
* 即包含了多余的值了
*/
dp[row][col] = dp[row + 1][col];
if (col - value[row] >= 0) {
dp[row][col] += dp[row][col - value[row]];
}
/**
* row代表推理的value， col代表列的下标，即代表aim的值
*
* 如果col就是我们想要的值，那么我们必须根据张数往前找。
* 如果value为3，张数为2，col为15，
* 那么我们就应该得到下一行的列下标为 15, 12, 9的值。而
* 多余的下标就是下一行列为6的值。
*
* value数组代表面值不同的数组: 此处的value[row] = 3.
* zhangshu数组代表当前面值为3的张数。此处zhangshu[row] = 2.
* 那么多余的位置不就是：
* 15 - 3 *（2+1） = 6 吗？
*/
if (col - value[row] * (zhangshu[row] + 1) >= 0) {
//既然是多余的，那当然要减去多余的推导了。
dp[row][col] -= dp[row + 1][col - value[row] * (zhangshu[row] + 1)];
}
}
}
return dp[0][aim];
}
// 为了测试
public static int[] randomArray(int maxLen, int maxValue) {
int N = (int) (Math.random() * maxLen);
int[] arr = new int[N];
for (int i = 0; i < N; i++) {
arr[i] = (int) (Math.random() * maxValue) + 1;
}
return arr;
}
// 为了测试
public static void printArray(int[] arr) {
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
System.out.println();
}
public static void main(String[] args) {
/* int[] arr = {1,2,1,1,2,1,2};
int aim = 4;
System.out.println(ways(arr, aim));
System.out.println(ways2(arr, aim));*/
int maxLen = 10;
int maxValue = 20;
int testTime = 1000000;
System.out.println("测试开始");
for (int i = 0; i < testTime; i++) {
int[] arr = randomArray(maxLen, maxValue);
int aim = (int) (Math.random() * maxValue);
int ans1 = ways(arr, aim);
int ans2 = ways2(arr, aim);
if (ans1 != ans2) {
System.out.println("Oops!");
printArray(arr);
System.out.println(aim);
System.out.println(ans1);
System.out.println(ans2);
break;
}
}
System.out.println("测试结束");
}
}
至于空间复杂度优化，可以参考算法31进行研究，看看此题是否还可以对空间复杂度进行优化
