数据结构十弹---二叉树

news2024/11/26 11:34:20

二叉树

  • 1、树概念及结构
    • 1.1、树的概念
    • 1.2、树的相关概念
    • 1.3、树的表示
    • 1.4、树在实际中的运用
  • 2、二叉树概念及结构
    • 2.1、二叉树概念
    • 2.2、现实中的二叉树
    • 2.3、特殊的二叉树
    • 2.4、二叉树的性质
  • 3、二叉树的顺序结构
  • 4、二叉树相关习题
  • 总结

1、树概念及结构

1.1、树的概念

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。

1.有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点。
2.除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继。

因此,树是递归定义的。
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注意:
1.树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构。
2.除了根结点外,每个结点有且仅有一个父结点。
3.一颗N个结点的树有N-1条边。

1.2、树的相关概念

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1.节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6。
2.叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I…等节点为叶节点。
3.非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G…等节点为分支节点。
4.双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点。
5.孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点。
6.兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点。
7.树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6。
8.结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推。
9.树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
10.堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点。
11.节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先。
12.子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙。
13.森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林。

1.3、树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,既然保存值域,也要保存结点和结点之间的关系,实际中树有很多种表示方式如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法
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typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

1.4、树在实际中的运用

文件系统通常使用树来组织文件和文件夹之间的关系,比如Linux目录结构。
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2、二叉树概念及结构

2.1、二叉树概念

二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个数据元素的有限集合,该集合可以为空(空二叉树),也可以由一个称为根(root)的元素及两个不相交的,被分别称为左子树和右子树的二叉树组成.

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从上图可知:
1、二叉树不存在度大于2的结点
2.、二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

二叉树的五种情况:
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2.2、现实中的二叉树

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2.3、特殊的二叉树

1. 满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。

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2. 完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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2.4、二叉树的性质

1、若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第n层上最多有2^(n-1)个结点(满二叉树情况).
2、若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1(满二叉树情况).
3、 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2,则有 n0=n2 +1
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4.、若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h= log (n+1). (ps:log (n+1)是log以2
为底,n+1为对数)
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5、 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号,则对
于序号为i的结点有:
1、 若i>0,i位置节点的双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根节点编号,无双亲节点
2、 若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,2i+1>=n否则无左孩子
3、若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,2i+2>=n否则无右孩子
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3、二叉树的顺序结构

顺序结构存储就是使用数组来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树会有空
间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储,关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺
序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树。

为什么使用数组只适合完全二叉树呢?
完全二叉树符合三个式子,能很好的存储。上面画图的验算。
假设当前结点的下标为i
根节点的下标=(i-1)/2
左孩子的下标=i2+1
右孩子的下标=i
2+2

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4、二叉树相关习题

  1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( )
    A 不存在这样的二叉树
    B 200
    C 198
    D 199

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2.下列数据结构中,不适合采用顺序存储结构的是( )
A 非完全二叉树
B 堆
C 队列
D 栈

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3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为( )
A n
B n+1
C n-1
D n/2

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4.一棵完全二叉树的节点数位为531个,那么这棵树的高度为( )
A 11
B 10
C 8
D 12

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5.一个具有767个节点的完全二叉树,其叶子节点个数为()
A 383
B 384
C 385
D 386

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总结

本篇博客就结束啦,谢谢大家的观看,如果公主少年们有好的建议可以留言喔,谢谢大家啦!

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