目录
一. 写在前面
二. 正定矩阵的基本定义
三. 从正定矩阵 到 特征值
四. 从特征值 到 正定矩阵
五. 从正定矩阵 到 行列式
六. 从正定矩阵 到 矩阵的主元
七. 从矩阵的主元 到 正定矩阵
八. 简单的讨论
8.1 行列式检验
8.2 特征值检验
总结
一. 写在前面
在格密码的安全性归约证明中，有时要求格基是正定矩阵，本文章梳理正定矩阵的四个性质，也可以将其作为正定矩阵的判定方法。
需要用到几个线性代数的基础结论：
- 矩阵特征值的和等于对角线元素的和，求和的结果为矩阵的迹（trace）
- 矩阵特征值的积等于矩阵的行列式；
- 对称矩阵拥有标准正交的特征向量；
- 矩阵的主元等于相邻子矩阵行列式的比值；
二. 正定矩阵的基本定义
正定矩阵的前提要求是对称矩阵，要求对任意非零向量，满足：
先看一个简单的2行2列矩阵：
正定矩阵在格密码中的应用（知识铺垫）-CSDN博客
这篇文章告诉我们，满足如下条件的矩阵A即可被称之为正定矩阵：
矩阵特征值的和等于对角线元素的和，也就是矩阵的迹，很明显：
矩阵特征值的积等于矩阵的行列式，2行2列的矩阵有2个特征值，所以可得：
综上可以初步感受到正定矩阵的特征值均为正数。
还有另外一个有用的参数，叫矩阵的主元（pivot）。如果将的结果表示成完全平方差的结果，既可以得到矩阵的主元，如下：
第一个完全平方式的系数为a，第二个完全平方式的系数为，这两个元素的值即为矩阵的主元。
备注：2行2列矩阵的主元有两个。
很明显函数系数均为正数，即主元均为正数的话，就可以直接判定矩阵的正定性。
三. 从正定矩阵 到 特征值
证明：正定矩阵的特征值均为正数。
设特征值为，特征向量为x，由此可得：
两边同时乘以向量x的转置，可得：
正定矩阵的定义告诉我们，左边为正数。所以，右边为正数，也就是所有特征值为正数。
证明完毕
四. 从特征值 到 正定矩阵
证明：矩阵的特征值均为正数时，该矩阵为正定矩阵。
也就是已知：
尝试证明：
注意此处的x要求对任意向量成立，而不仅仅是特征向量。
线性代数基础知识告诉我们，对称矩阵拥有标准正交的特征向量（orthonormal eigenvectors），将其表示为，所以给定任意向量x都可以表示成标准正交的特征向量，如下：
由此，将矩阵A与向量x的运算，改写为：
第一个等号：将向量x直接改写，并将常数c提到最前面；
第二个等号：特征值与特征向量的关系；简单复习下标准正交的性质。正交性告诉我们:
标准性（normalization）告诉我们：
由此将刚才的等式两边同时乘以向量x的转置，可得：
第一个等号：将向量x的转置表示成标准正交特征向量的格式；
第二个等号：正交性与标准性质；
当所有的特征值大于0，也就是时，可得左边也为正数，也就是
。
证明完毕。
五. 从正定矩阵 到 行列式
先看一个简单例子：
很容易计算，该矩阵的行列式为1，detA=1。
但这个矩阵是负的单位阵：
很明显不是正定矩阵，更准确来讲是负定矩阵（negative definite）。这也说明单纯看行列式的正负是不能反应矩阵的正定性。
那怎么办？
对于n维的矩阵来讲，从左上角开始，它的子矩阵，并且要求是方阵的情况，一共有n种，如下：
证明：正定矩阵的子矩阵行列式均为正的。
解：
任意矩阵A的行列式即为特征值的乘积。已经证明了，正定矩阵的特征值均为正数，那么说明矩阵A的行列式也肯定为正数，但现在，它的子矩阵怎么证明呢？
给出任意n维向量，我们考虑前k项任意，但要求后n-k项为0，那么可得：
也就是：
那么我们可以运算得到:
其中“*”代表原始矩阵A剩下的元素。
由此证明子矩阵也是正定的。该子矩阵的特征值也是正的，也就可以推出该子矩阵的行列式肯定为正数。
证明完毕。
六. 从正定矩阵 到 矩阵的主元
证明：正定矩阵的主元均为正数
解：
将矩阵的第k个主元叫，我们知道该值可以利用行列式求：
以上证明告诉我们，正定矩阵的行列式均为正数，子矩阵的行列式也为正数，所以可得矩阵的主元也为正数。
证明完毕。
七. 从矩阵的主元 到 正定矩阵
证明：当矩阵的主元均为正数时，该矩阵为正定矩阵。
解：
2行2列的矩阵肯定符合，这个我们在正定矩阵的定义中就证明过。
推广到任意n维矩阵时，需要将矩阵进行分解。分解成下三角矩阵和对称矩阵，如下：
接下来我们举个例子会更加清楚。
举一个三阶矩阵分解的例子，如下：
结合正定矩阵的要求，我们运算：
三阶矩阵的对称三维向量，可以先做下三角矩阵与向量的运算：
紧接着我们可以把矩阵与向量运算的结果表示成函数的格式。在写之前，我们就知道了矩阵的主元是位于完全平方差系数的位置，由此可得：
很显然当矩阵主元均为正数时，该函数也肯定恒为正数，也就是为正数，也就是A为正定矩阵。
证明完毕。
备注：特征值与矩阵的主元是两个完全不一样的元素。
八. 简单的讨论
还是以刚才三阶矩阵为例子。
8.1 行列式检验
我们可以首先用特征值对每个子矩阵进行判断下：
全为正数，再次说明A为正定矩阵。
8.2 特征值检验
三阶对称矩阵的特征值有三个数，可得：
全为正数，再次说明A为正定矩阵。
总结
正定矩阵拥有如下性质：
- 正定矩阵的特征值均为正数。
- 正定矩阵的子矩阵行列式均为正的。
- 正定矩阵的主元均为正数
- 正定矩阵对任意向量x，满足
以上均为充分必要条件，也就是可以将这四个作为正定矩阵的判定条件，也是可以的。在格密码利用矩阵进行安全性分析时，以上性质会非常有用，比如格基矩阵怎么取等等。
