3D数学基础

矢量/向量

在笔记中

• 变量使用小写字母表示，a
• 由于笔记中画上箭头表示向量比较麻烦，这里小写字母加粗显示，a
• 矩阵变量使用粗体大写字母表示，A

概述 - 什么是向量

在线性代数中，Vector被称为向量。在几何中，Vector被称为矢量。

向量意义
对数学家来说，向量是一个数字列表(程序员一般称为数组)。

[1,2,3]表示为行向量，垂直过来就是列向量。可以引用向量来表示各个分量，通常使用x,y来代指二维向量中的元素，x,y,z来代指三维向量中的元素。比如a=[1,2,3]中ax=1,ay=2,az=3

矢量意义

矢量是具有大小和方向的有向线段

• 矢量的大小：矢量的长度，非负值。
• 矢量的方向：描述矢量在空间中指向的方向。

图形上每个矢量是位置无关的，比如使用笛卡尔坐标描述矢量时，每个坐标相当于描述对应维度(x、y或其他)中有符号位移。
比如三维矢量[3,-1,2]可以表示为①向+x轴平移3个单位②向+y轴平移-1个单位(或者-y轴平移1个单位)③向+z轴平移2个单位。其实顺序不重要，移动的总量是一样的。

零矢量：矢量中唯一没有方向的，可以理解为无位移(而不是一个点因为矢量不描述一点)

点与矢量的关系
假设有点(x,y)与矢量[x,y]
如果从原点开始按照矢量[x,y]指定的量移动，最终将到达点(x,y)的位置。或者说矢量[x,y]给出了原点到点(x,y)的位移。

单位矢量：只关注方向不关注大小

单位矢量/归一化矢量 表示大小为1(单位长度)的矢量

有时会将单位向量称为法线，法线通常隐含垂直于其他东西的矢量,主要关注点在垂直而不是单位长度。法线往往是单位向量，但是也有例外(所以需要注意例外的情况)

总结

• 归一化矢量是大小为单位长度的矢量
• 法线与某些东西垂直的矢量，通常情况是单位长度

计算公式
v的单位矢量=v/|v|

数学运算

标量和矢量的乘法，标量乘以矢量的每个分量
k[x,y,z] = [x,y,z]k = [kx,ky,kz]

矢量的加法与减法

规则：相应分量相加/相减

a+b= b+a
a-b = -(b-a)

比如a+b，三角形法则几何理解为从一个点开始应用由a指定的位移，然后再应用由b指定的位移

减法的几何意义计算一个点到另一个点的位移

比如a点到b的距离，将ab理解为来自原点的矢量，b-a产生的是从a到b的矢量，矢量b-a的长度就是两点之间的距离。

矢量的点积与叉积

矩阵

方阵几何意义 - 表示空间坐标的变换

• 方阵的行可以理解为坐标空间的基矢量
• 将矢量从原始空间变化到新坐标空间的方法是：矢量 * 矩阵
• 原始坐标空间到由基矢量定义的坐标空间的变化是线性变化(保留直线、平行线也保持平行、原点不移动变化不包含平移)，但角度、长度、面积等可能在变化后发生变化。
• 可以通过可视化变化后坐标空间的基矢量来可视化矩阵。