秋招复习之迭代与递归

news2024/11/16 10:29:03

目录

前言

递归

1. 调用栈

2. 尾递归

3. 递归树

总结

前言

复习中ing，递归我总是迷迷糊糊的，这里有点醍醐灌顶。迭代是自下而上，从最基础的步骤开始，然后不断重复或累加这些步骤，直到任务完成。递归是自上而下，找到终止条件，然后向上“归”。

之前也刷过类似题：力扣刷题篇之递归-CSDN博客

参考2.2 迭代与递归 - Hello 算法 (hello-algo.com)

递归

「递归 recursion」是一种算法策略，通过函数调用自身来解决问题。它主要包含两个阶段。

递：程序不断深入地调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到“终止条件”。
归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。

而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。

终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。
递归调用：对应“递”，函数调用自身，通常输入更小或更简化的参数。
返回结果：对应“归”，将当前递归层级的结果返回至上一层。

观察以下代码，我们只需调用函数 recur(n) ，就可以完成 1+2+⋯+n 的计算：

/* 递归 */
int recur(int n) {
    // 终止条件
    if (n == 1)
        return 1;
    // 递：递归调用
    int res = recur(n - 1);
    // 归：返回结果
    return n + res;
}

该函数的递归过程:

虽然从计算角度看，迭代与递归可以得到相同的结果，但它们代表了两种完全不同的思考和解决问题的范式。

迭代：“自下而上”地解决问题。从最基础的步骤开始，然后不断重复或累加这些步骤，直到任务完成。
递归：“自上而下”地解决问题。将原问题分解为更小的子问题，这些子问题和原问题具有相同的形式。接下来将子问题继续分解为更小的子问题，直到基本情况时停止（基本情况的解是已知的）。

以上述求和函数为例，设问题 $f(n)=1+2+3+...+n$

迭代：在循环中模拟求和过程，从 1 遍历到 n ，每轮执行求和操作，即可求得 f(n)。
递归：将问题分解为子问题 $f(n)=n+f(n-1)$ ，不断（递归地）分解下去，直至基本情况 f(1)=1 时终止。

1. 调用栈

递归函数每次调用自身时，系统都会为新开启的函数分配内存，以存储局部变量、调用地址和其他信息等。这将导致两方面的结果。

函数的上下文数据都存储在称为“栈帧空间”的内存区域中，直至函数返回后才会被释放。因此，递归通常比迭代更加耗费内存空间。
递归调用函数会产生额外的开销。因此递归通常比循环的时间效率更低。

如图 2-4 所示，在触发终止条件前，同时存在n个未返回的递归函数，递归深度为 n。

在实际中，编程语言允许的递归深度通常是有限的，过深的递归可能导致栈溢出错误。

2. 尾递归

有趣的是，如果函数在返回前的最后一步才进行递归调用，则该函数可以被编译器或解释器优化，使其在空间效率上与迭代相当。这种情况被称为「尾递归 tail recursion」。

普通递归：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下文。
尾递归：递归调用是函数返回前的最后一个操作，这意味着函数返回到上一层级后，无须继续执行其他操作，因此系统无须保存上一层函数的上下文。

以计算 1+2+⋯+n 为例，我们可以将结果变量 res 设为函数参数，从而实现尾递归：

/* 尾递归 */
int tailRecur(int n, int res) {
    // 终止条件
    if (n == 0)
        return res;
    // 尾递归调用
    return tailRecur(n - 1, res + n);
}

尾递归的执行过程如图所示。对比普通递归和尾递归，两者的求和操作的执行点是不同的。

普通递归：求和操作是在“归”的过程中执行的，每层返回后都要再执行一次求和操作。
尾递归：求和操作是在“递”的过程中执行的，“归”的过程只需层层返回。

请注意，许多编译器或解释器并不支持尾递归优化。例如，Python 默认不支持尾递归优化，因此即使函数是尾递归形式，仍然可能会遇到栈溢出问题。

3. 递归树

当处理与“分治”相关的算法问题时，递归往往比迭代的思路更加直观、代码更加易读。以“斐波那契数列”为例。

Question

给定一个斐波那契数列 0,1,1,2,3,5,8,13,… ，求该数列的第 � 个数字。

设斐波那契数列的第 n个数字为 f(n) ，易得两个结论。

数列的前两个数字为 f(1)=0 和 f(2)=1 。
数列中的每个数字是前两个数字的和，即 f(n)=f(n−1)+f(n−2) 。

按照递推关系进行递归调用，将前两个数字作为终止条件，便可写出递归代码。调用 fib(n) 即可得到斐波那契数列的第 n 个数字：

/* 斐波那契数列：递归 */
int fib(int n) {
    // 终止条件 f(1) = 0, f(2) = 1
    if (n == 1 || n == 2)
        return n - 1;
    // 递归调用 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
    int res = fib(n - 1) + fib(n - 2);
    // 返回结果 f(n)
    return res;
}

观察以上代码，我们在函数内递归调用了两个函数，这意味着从一个调用产生了两个调用分支。如图所示，这样不断递归调用下去，最终将产生一棵层数为 n 的「递归树 recursion tree」。