堆排序

  堆排序借用的是堆的特性来实现排序功能的。大堆需要满足父节点大于子节点，因此堆顶是整个数组中的最大元素。小堆则相反，要求父节点小于子节点，因此父节点是整个数组中最小元素。
借助这一特性，对于大堆，我们可以将堆顶的元素，和堆的最后一个元素置换，这样便将最大的数排到了最后面。同时将堆顶的有效个数减1。但是置换上来堆顶的元素，也就破坏了堆的结构，但是堆顶元素的左右子节点依旧是堆的结构，因此可以对堆顶进行调整，然其继续满足堆的特性。这样便找出第二大的元素，继续重复上述动作，便能将大的数组都往后挪动。待到只剩下一个有效数据时，便拍好了数组。大家认为这是一个升序的数组呢？还是一个降序的数组呢？
  答案显而易见，使用大堆进行排序，结果是升序的效果。同样的思路，使用小堆进行排序，结果是降序的结果。

因此，得出一个结论：
想要对数组进行升序的排序，使用大堆;
想要对数组进行降序的排序，使用小堆;

大堆排序

概念

  大堆概念：每个节点（父节点）的值都大于或等于其子节点的值。
大堆排序借用的便是大堆的特性，将堆顶的元素和堆的最后一个元素进行置换，置换上来堆顶的数据再进行堆结构的调整。然后重复以上动作，实现排序功能。

算法思想

要想实现大堆排序，首先需要对数组建立起大堆的结构。下面我们使用数组 arr[] = { 6 , 4 , 3 , 9 , 2 , 1 ,5 ,7 ,8 };来模拟演示大堆的构建，以及排序的大体过程。如下是数组的初始状态：

首先，让我们来看看堆的结构是如何产生的。

建堆

  首先，要明确一点的就是：堆是基于完全二叉树而演变出来的一种数据结构。分为最大堆和最小堆两种类型，但它们都是完全二叉树。完全二叉树结构特点如下：

注意：完全二叉树每个节点必须是从左到右依次遍布的，中间不能跳跃，如第四层的第三个节点，必须是第三层第二个节点的左节点，否则将不满足完全二叉树的特点。

  了解以上知识后，还得须知建堆的核心算法是 “向下调整算法” 。通过算法的一步步调整，一步步建立起堆这一结构。但是！该算法有个前提，就是调整的节点的左右子节点必须是堆的结构。
  有同学可能有疑惑，这不是扯淡吗？我就是要建立的堆结构，又要我满足调整的节点的左右子节点也是堆结构，闹着玩儿呢？
  并不是的，正所谓没有条件，便创造出条件。我们可以从下往上进行建堆啊！比如回到原数组 arr[] = { 6 , 4 , 3 , 9 , 2 , 1 ,5 ,7 ,8 };我们先对数组模拟出堆的结构出来：

肉眼可见的，原数组模拟出来的完全二叉树，并不符合堆的结构特点。那么如何做到前面所说的，创造出前提条件，进行建堆呢？从堆顶向下进行调整是不可能的，因为堆顶的元素6不满足核心算法的前提条件。但是！我们可以对元素9进行调堆啊，元素9不就正好满足核心算法的前提条件嘛。
首先元素9有左右两个子节点7和8。元素7和元素8左右子节点都为空节点，那么元素7和元素8可以认为是堆的结构，因此元素9左右子节点都是堆结构这一前提条件便满足了。可以使用建堆的核心算法，从元素9开始依次往上建堆。
  元素9建成堆结构后，下标减1。开始对元素3进行建堆，同样的元素3也满足核心算法的前提条件，同样可以使用核心算法进行堆结构的建立。接着就是元素4，元素4此时也满足了左右子节点都是堆结构的条件，同样进行堆的调节建立，最终是元素6也就是堆顶的调节，而这时堆顶也满足了左右子节点都是堆结构的前提条件，同样利用 “向下调整算法” 进行堆结构的建立。至此完成整个数组的堆结构构建。

（注：
是如何找到要从哪一个节点进行堆的构建的？利用子节点找父节点的方法！如数组有n个元素，最后一个元素的下标则为n-1，根据完全二叉树的特点，最后一个元素的父节点的下标为：（n-1-1）/ 2。
）

建堆核心算法

// 两数交换
void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}


// 向下调整算法
/*
传入参数：
ret：需要建立的数组
root：需要开始调节的节点
n：数组的个数
*/
void AdjustDown(int* ret,int n,int root)
{
	
	int parent = root;// 父节点，也就是要调节的节点
	int child = parent*2+1;// 子节点/孩子，默认是左节点

	while(child<n)
	{
		// 找出左右孩子,最大的孩子，同时要考虑只有左孩子的情况
		if(child+1<n && ret[child+1] > child[child])
		{
			child++;// 如果右孩子比左孩子大，则存储右孩子的下标
		}
		// 如果 子节点大于父节点，则子节点向上进行调整
		if(ret[parent] < ret[child])
		{
			swap(ret[parent],ret[child]);
			parent = child;
			child=parent*2+1;
		}
		else  // 父节点大于子节点则退出循环（注意父节点左右子节点都是堆的结构）
		{
			break;
		}
	}
}

建堆的代码

// 升序 - 建大堆
void CreateHeap(int* a, int n)
{
	// 建大堆，从最后一个节点的父节点开始建立
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDowm(a, n, i);
	}
}

建完堆后的数组如下所示：

至此，我们实现了对数组建堆这一个数据结构的条件。接下来便能对其进行排序了。

排序代码实现

void SortHeap(int* a,int n)
{
	// 排序
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		Swap(&a[0], &a[n - i]);	// 将堆顶元素与堆的最后一个元素交换
		AdjustDowm(a, n  - i, 0); // 交换上堆顶的元素进行堆的调节，使其依旧保持大堆的结构特性
	}

}

至此，便借用大堆的特性，实现了升序的排序效果。

小堆排序

概念和算法思想和大堆差不多，便不过多冗余介绍了，下面直接给出小堆排序的实现的降序排序代码。

代码实现

// 两数交换
void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}



// 向下调整算法 - 前提：左右子树都是堆
void AdjustDowm(int* a, int n, int root)
{
	int parent = root;
	int child = parent * 2 + 1;//默认左孩子
	
	while (child < n)
	{
		// 找出左右子节点中，最小的子节点
		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
		{
			child++;
		}
		// 如果父节点比子节点大，则将子节点向上调整
		if (a[parent] > a[child])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;	// 退出循环
		}

	}
}

// 降序 - 建小堆
void HeapSort(int* a, int n)
{
	// 建大堆
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDowm(a, n, i);
	}

	//PrintArr(a,n);//查看建堆后的数组

	// 排序
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		Swap(&a[0], &a[n - i]);
		AdjustDowm(a, n  - i, 0);
	}

}

与大堆的差别仅改变了核心算法中的两处地方，如下：

下面介绍一下堆排序的时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度

O(N*logN)
大体计算如下：
建堆时间复杂度为O(N)；
堆排序的时间复杂度为O(N*logN)，因为将堆顶元素置换以后，还需要进行调堆，调堆的时间复杂度为O(logN)。每排一个元素需要进行一次调堆，所以排完整个数组的时间复杂度为O(N*logN）。
所以总的时间复杂度为：O(N+N*logN)。两者记录较大的，所以时间复杂度为O(N*logN)。

空间复杂度

O(1)；

堆排序过程中，都是在原数组上进行的，没有申请空间，所以空间复杂度为O(1)。