Lecture 11-12 Geometry 2 (Curves and Surfaces)

Curves

Bézier Curves 贝塞尔曲线

• 使用一系列的控制点定义某个曲线，控制点定义曲线满足的一些性质
• 可以定义出唯一的曲线，从 $p_0$ 开始，$p_3$ 结束

de Casteljau Algorithm 绘制贝塞尔曲线

• 给定任意多个控制点，生成贝塞尔曲线

对于两条线段，三个点的情况

1. 使用线性插值的方式插入一个点

2. 在另一条边等比例的插入另外一个点

3. 连接 $b_0^1$ 和 $b_1^1$ 得到 $b_0^2$

4. 枚举 $[0,1]$ 中所有的参数 $t$ ，连接所有得到的 $b_0^2$ ，就获得了生成的曲线

对于四条线段，三个点的情况，递归处理即可

Algebraic Formula

e.g. 三个点的贝塞尔曲线的例子

根据 $b_0^1$ 和 $b_1^1$ 得到 $b_0^2$，将其展开容易得到上式，容易发现是系数是 $(1-t+t{)}^2$ 的形式，所以我们容易推理出贝塞尔曲线的一般代数表示

对于有 $n+1$ 个点的贝塞尔曲线，在任意时间 $t$，它都是给定的控制点的线性组合
$${\mathbf{b}}^n(t)={\mathbf{b}}_0^n(t)=\sum _{j=0}^n{\mathbf{b}}_j{B}_j^n(t)$$
其中，$B_j^n(t)$ 是 Bernstein polynomial，描述为【就是描述 $(1-t+t{)}^n$ 的各项系数是多少】
$$B_i^n(t)=\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)t^i(1-t{)}^{n-i}$$

Features

• 对贝塞尔曲线的控制点做仿射变换（线性变换+平移）相当于对贝塞尔曲线做仿射变换
  • 投影是不满足此性质
• 贝塞尔曲线的凸包性质：画出的贝塞尔曲线一定在几个控制点形成的凸包内

Piecewise Bézier Curves 逐段的贝塞尔曲线

当控制点较多时，贝塞尔曲线的形状不好控制。在实际的情况中，使用多段贝塞尔曲线进行首尾相接得到新曲线（一般使用四个控制点的三次贝塞尔曲线），这种方法就叫做逐段的贝塞尔曲线

Continuity 贝塞尔曲线的连续性

• $C^0$ continuity：第一段的终止点和第二段的起点相接
• $C^1$ continuity：导数连续，控制点的左右两个控制点方向相反，距离控制点的距离相等 ${\mathbf{a}}_n={\mathbf{b}}_0=\frac{1}{2}\left({\mathbf{a}}_{n-1}+{\mathbf{b}}_1\right)$

Spline 样条曲线

一个可控的曲线

B-splines B样条

• Short for basis splines 基函数（由不同函数组合成别的函数）样条
• 对贝塞尔曲线的扩展，当贝塞尔曲线的阶数高时，动一个点对周围的影响大，而 B 样条曲线具有局部性，更加容易控制

Surfaces

贝塞尔曲面

Evaluating Surface Position For Parameters $(u,v)$

• Use de Casteljau to evaluate point $u$ on each of the 4 Bezier curves in u. This gives 4 control points for the “moving” Bezier curve
• Use 1D de Casteljau to evaluate point v on the “moving” curve

Mesh Operations 曲面操作

• Mesh Subdivision (upsampling)
• Mesh Subdivision (upsampling)
  • Decrease resolution
  • try to preserve shape/appearance
• Mesh Regularization (same #triangles)
  • Modify sample distribution to improve quality

Mesh Subdivision 细分

Loop Subdivision

• 只适用于三角形面

• 引入更多的三角形

  • 连接原本三角形的三条边的中点，形成新的顶点

• 让三角形的位置发生一些变化，让原来的物体变得更加光滑

  • 对于新的顶点

  • 下图中的白色顶点为生成的新的顶点且被两个原三角形共享，认为 $A,B$ 两点是距离白色点较近的两个点，$C,D$ 两点是距离白色点较远的两个点，实质是一种加权平均，使得新出现的白点可以达到平滑的效果

  • Loop Subdivision 算法将白色顶点的坐标调整为
    $$\frac{3}{8}(A+B)+\frac{1}{8}(C+D)$$

  

  • 对于旧的顶点（虚线表示拆出的新三角形，老的顶点是中间的白色点）

  • Loop Subdivision 算法使得调整后的新顶点，一部分相信老的顶点的平均值，一部分受新的顶点的影响

  • 定义 $n$ 为白色顶点的度，下图中 $n=6$

  • 定义 $u$ 为与 $n$ 有关系的一个数。当 $n=3$ 时，$u=\frac{3}{16}$，当 $n\ne 3$ 时，$u=\frac{3}{8n}$

  • Loop Subdivision 算法将白色顶点的坐标调整为 （可以这么理解，如果一个顶点连了很多三角形，说明这个顶点可以由别人来决定，如果一个顶点连接的三角形数目很少，说明这个顶点自身比较重要，要更多的相信自己的信息）
    $$(1-un)\times \text{original\_position}+u\times \text{neighbor\_position\_sum}$$

  

Catmull-Clark Subdivision (General Mesh)

• 适用于一般的情况，网格不是三角形网格
• 非四边形面 (Non-quad face)：不是四边形的面
• 奇异点/异顶点 (Extraordinary vertex)：度不为 $4$ 的顶点

• 细分步骤

1. 对所有的边和面取中点
2. 将取出的中点连起来

在一次细分之后，所有的非四边形面都消失了，每一个非四边形面都转化成了一个奇异点，之后奇异点的数目不会在增加了

• 调整步骤：将点区分成三类，分别更新他们的坐标

1. 在一个面中心的新的点，设其为 $f$

$$f=\frac{v_1+v_2+v_3+v_4}{4}$$

2. 在边中心的新的点，设其为 $e$
   
   $$e=\frac{v_1+v_2+f_1+f_2}{4}$$

3. 老的点，设其为 $v$，定义 $p$ 为老的点，$m$ 为边的中点

$$v=\frac{f_1+f_2+f_3+f_4+2\left(m_1+m_2+m_3+m_4\right)+4p}{16}$$

Mesh Simplification

Edge Collapse 边坍缩

• 找到一条边，把连接这两条边的顶点变成一个顶点（捏起来）
• 使用 Quadric Error Metrics（二次误差度量）来确定坍缩的边
• Quadric error: new vertex should minimize its sum of square distance (L2 distance) to previously related triangle planes
  • 找到一个最优的位置，使得这个点到它原本的面的距离平方和最小
• 选择最优的边：优先队列
  • 选取二次度量误差最小的边
  • 合并这个边
  • 更新所有受这个边影响的边

Shadow Mapping

• 如果有点在阴影里，就说明摄像机可以看到但光源看不到这个点

Algorithm

• Pass 1: Render from Light：从光源看向场景，记录光源能看到的深度图

• Pass 2A: Render from Eye：从摄像机出发，看场景，记录摄像机能看到的深度图

• Pass 2B: Project to light：把摄像机上看到的点投影回光源
  • 如果这个点反投影回光源的深度和光源一致，说明这个点对光源可见（橙色线）
  • 如果不一致，说明这个点是阴影（红色线）

Cons

• 由于数值精度问题，判断两个距离是否相等时浮点数误差，导致阴影的边界不清晰
• 渲染两遍时的分辨率不同会导致误差，Shadow Map 的分辨率通常较低

Hard Shadows vs. Soft Shadows

• 硬阴影：阴影的边界锐利
• 软阴影：边界不清晰，过渡明显
  • 本影：一个位置完全看不到光源
  • 半影：一个位置可以部分看到光源
  • 对于点光源不可能出现软阴影，软阴影一定是光源具有一定大小造成的现象