拓扑排序图解-Kahn算法和深度优先搜索

news2024/11/27 4:30:18

拓扑排序是将一个有向无环图中的每个节点按照依赖关系进行排序。比如图 $G$ 存在边 $< u, v >$ 代表 $v$ 的依赖 $u$ , 那么在拓扑排序中，节点 $u$ 一定在 $v$ 的前面。

从另一个角度看，拓扑排序是一种图遍历，具有两个性质：

图 $G$ 中的每个节点 $v$ 在排序序列中仅出现一次。
节点 $v$ 当且仅当其依赖的所有节点 $u$ 被访问完成，才被访问。

拓扑排序能够在 $O (V + E)$ 的线性时间内完成，分为两种算法-Kahn算法和深度优先搜索

拓扑排序实例

在这里插入图片描述
这个图有很多有效的拓扑排序，包括：

视觉从左到右，从上到下：

5, 7, 3, 11, 8, 2, 9, 10

最小编号的可用顶点优先：

3, 5, 7, 8, 11, 2, 9, 10

按入边邻居的字典顺序：

3, 5, 7, 8, 11, 2, 10, 9

最少边数优先：

5, 7, 3, 8, 11, 2, 10, 9

最大编号的可用顶点优先：

7, 5, 11, 3, 10, 8, 9, 2

尝试从上到下，从左到右：

5, 7, 11, 2, 3, 8, 9, 10

任意顺序：

3, 7, 8, 5, 11, 10, 2, 9

Kahn算法

L ← Empty list that will contain the sorted elements
S ← Set of all nodes with no incoming edge

while S is not empty do
    remove a node n from S
    add n to L
    for each node m with an edge e from n to m do
        remove edge e from the graph
        if m has no other incoming edges then
            insert m into S

if graph has edges then
    return error   (graph has at least one cycle)
else 
    return L   (a topologically sorted order)

这个算法的思想是：

首先，在非空的有向无环图中，找到一组没有入边的起始节点，并将它们插入一个集合 S。上节图中的3,5,7 都是起始节点。
从S取出一个节点 $n$ ，追加到列表L
对于每个依赖节点 $n$ 的节点 $m$ , 删除边 $< n, m >$
如果节点 $m$ 变成起始节点，即入度为0，那么加入集合S.
最后如果图中还有未删除的边，那说明图存在环路，无法拓扑排序；否则输出拓扑排序序列

算法依据的原理是什么？

无环图的正常遍历情况是这样的：

黄色代表集合S中的节点

在这里插入图片描述

有环图的情况：

如果图G中有环，遍历至环路中任一节点，因为无法在环路中，找到任何一个开始节点进入环路，导致S为空，算法中止。
在这里插入图片描述

深度优先搜索

L ← Empty list that will contain the sorted nodes
while exists nodes without a permanent mark do
    select an unmarked node n
    visit(n)

function visit(node n)
    if n has a permanent mark then
        return
    if n has a temporary mark then
        stop   (graph has at least one cycle)

    mark n with a temporary mark

    for each node m with an edge from n to m do
        visit(m)

    remove temporary mark from n
    mark n with a permanent mark
    add n to head of L