叉乘的定义:
混合积的几何意义:就是平行六面体的体积
三个向量共面的充要条件:
这里要注意,混合机对应的就是三阶行列式的值。
平面方程:
点法式:
一般式:
截距式:
三点式:
直线方程
点向式:
参数式:
两点式:
一般式:
点到平面的距离:
点到直线的距离:
其他空间解析几何暂时不列举了,需要的时候再复习好了。
接下来是重点 多元函数微分学和积分学。
判断二元函数极限不存在的方法:
多元函数的连续:
全增量和偏增量:
偏导数的定义:
多重偏导和顺序无关:
证明:
不要求,用四次拉格朗日定理
全微分的定义:
这里要注意,虽然是定义,但这个定义可以推倒出来的:
按照《简明微积分》里面的推倒:
=f(x+,y+)-f(x,y)
=f(x+,y+)-f(x,y+y) +f(x,y + y)-f(x,y)
用微分中值定理:
=(x+,y+) +
当增量x,y都趋向于0的时候,
对于高阶无穷小量的说明,我们来看:
从理解上说,p= 和之前单个变量的距离是一致的。
按照一元变量的定义:
所以
于是
后面的就是的高阶无穷小。
对于多元微积分来说,下面的分母应该就是自变量改变量的距离,一般我们对距离的定义就是
常规的
高阶无穷小量p的另一种表示形式:
那么我们怎么证明A就是z对x的偏导呢?
令这个时候,
那么
于是
同理可证明B
复合偏导数求导法则证明:
图中有笔误,z误写成了u,理解就好
全微分一阶形式不变性的证明:
方程确定多元函数求偏导的方法:
可以复习下克拉默法则:
克拉默法则是怎么想出来的? - 知乎
方向导数定理:
证明:
梯度:
几何意义:
梯度是方向导数中最大的一个。
拉格朗日数乘法:
二重积分:
非规则区域的和式极限为0(边界曲线的面积为0)
二重积分的计算:
把二重积分化成累次积分
二重积分换元,引出了雅克比行列式,
这里我们看《简明微积分》里面的证明:
书上有点笔误,知乎上有个简略证明:重积分换元的公式,证明,解法,例题 - 知乎
我们也简单证明下:
图还是按照这个图,证明按照《简明微积分》
取四个点,M1,M2,M3,M4
坐标分别为:
M1:x1,y1
M2:x1 + + o(p), y1 + + o(p)
M3:可以忽略
M4:x1 + + o(p), y1 + + o(p)
因爲近似成平行四边形,所以直接取两相邻的边叉乘即可。
M1M2: + o(p), + o(p)
M1M4: + o(p), + o(p)
根据叉乘公式:
就是( + o(p))( + o(p))-( + o(p))( + o(p))
展开:
知乎上是没有这个高阶无穷小的项的,但我觉得简明微积分里的更加正确,只有加了d的微分才可以舍弃高阶无穷小,而上面这个是等于号,我认为不能舍弃高阶无穷小。
让我们重新梳理思路:
首先,从体积的角度去理解这个二重积分:
就是对于区域D下的面积,和每个微元的函数值的积分,最终形成体积的概念。就是求和公式:
而通过换元u,v, f(x(u,v),y(u,v)) 可以看成复合函数f(T(u,v))
还是从求和公式出发先:
核心就在于求和公式中和的区别
我认为简明微积分的做法更加正确。
首先毫无疑问,从单变量微积分讲,dx=f'(u)du
这是因为自变量u的改变量du会引起因变量dx的改变量,它近似与f'(u)du,当du趋于0时,可以把高阶无穷小(相对于du)舍去,也就是直接等于。
类比到二元微积分中,就是因变量dxdy=Adudv
因为是两个变量,几何上要从一维的长度变成二维的面积。
注意,其实dxdy和dudv应该是一个整体,只是进行积分计算的时候,我们可以化成累次积分。
所以考虑uv下的自变量的改变量d,它引起的因变量的改变量d',我们可以画图:
也就是四个点,A(x(u,v),y(u,v), B(x(u+du, v), y(u+du), v)
C(x(u,v+dv),y(u,v+dv)), D(坐标忽略)
这个新的四边形的面积就是因变量的改变量。
我们用叉乘算出面积:
至于为什么二元是面积的变化,包括更高维度怎么处理,我们需要去学习卓里奇的数学分析再看了。