多变量微积分1

news2024/11/17 11:55:34

叉乘的定义:

混合积的几何意义:就是平行六面体的体积

 三个向量共面的充要条件:

 这里要注意,混合机对应的就是三阶行列式的值。

平面方程:

点法式:

 一般式:

截距式:

三点式:

直线方程

点向式:

 参数式:

两点式:

一般式:

点到平面的距离:

点到直线的距离:

其他空间解析几何暂时不列举了,需要的时候再复习好了。

接下来是重点 多元函数微分学和积分学。

判断二元函数极限不存在的方法:

 多元函数的连续:

 全增量和偏增量:

偏导数的定义:

 多重偏导和顺序无关:

证明:

不要求,用四次拉格朗日定理 

全微分的定义:

这里要注意,虽然是定义,但这个定义可以推倒出来的:

按照《简明微积分》里面的推倒:

\Delta f=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)

     =f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Deltay) +f(x,y + \Deltay)-f(x,y)

用微分中值定理:

    =f'_x(x+\theta _1\Delta x,y+\Delta y)\Delta x + f'_y(x,y+\theta _2\Delta y)\Delta y

 当增量x,y都趋向于0的时候,

\Delta f=f'_xdx + f'_ydy + o(p)

对于高阶无穷小量的说明,我们来看:

从理解上说,p=\sqrt{\Delta x^{2} + \Delta y^2}  和之前单个变量的距离是一致的。

按照一元变量的定义:

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)

所以\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)=\alpha

于是\Delta y = f'(x_0)\Delta x + \alpha \Delta x

后面的就是\Delta x的高阶无穷小。

对于多元微积分来说,下面的分母应该就是自变量改变量的距离,一般我们对距离的定义就是

常规的\sqrt{\Delta x^{2} + \Delta y^2}

高阶无穷小量p的另一种表示形式:

那么我们怎么证明A就是z对x的偏导呢?

令这个时候,\Delta y=0

那么\Delta _xz=A\Delta x + \alpha \Delta x

于是f'_x=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta _xz/\Delta x = A

同理可证明B

复合偏导数求导法则证明:

图中有笔误,z误写成了u,理解就好

全微分一阶形式不变性的证明:

 方程确定多元函数求偏导的方法:

可以复习下克拉默法则:

克拉默法则是怎么想出来的? - 知乎

方向导数定理:

证明:

 梯度:

几何意义:

 梯度是方向导数中最大的一个。

拉格朗日数乘法:

二重积分:

非规则区域的和式极限为0(边界曲线的面积为0)

二重积分的计算:

把二重积分化成累次积分

 

二重积分换元,引出了雅克比行列式,

这里我们看《简明微积分》里面的证明:

书上有点笔误,知乎上有个简略证明:重积分换元的公式,证明,解法,例题 - 知乎

我们也简单证明下:

 图还是按照这个图,证明按照《简明微积分》

取四个点,M1,M2,M3,M4

坐标分别为:

M1:x1,y1

M2:x1 + x'_udu + o(p), y1 + y'_udu + o(p)

M3:可以忽略

M4:x1 + x'_vdv + o(p), y1 + y'_vdv + o(p)

因爲近似成平行四边形,所以直接取两相邻的边叉乘即可。

M1M2: x'_udu + o(p), y'_udu + o(p)

M1M4:x'_vdv + o(p), y'_vdv + o(p)

根据叉乘公式:

就是( x'_udu + o(p))( y'_vdv + o(p))-( y'_udu + o(p))( x'_vdv + o(p))

展开:

x'_uy'_vdudv - x'_vy'_ududv + Ao(p) + Bo(p^2)​​​​​​​

知乎上是没有这个高阶无穷小的项的,但我觉得简明微积分里的更加正确,只有加了d的微分才可以舍弃高阶无穷小,而上面这个是等于号,我认为不能舍弃高阶无穷小。

让我们重新梳理思路:

首先,从体积的角度去理解这个二重积分:\iint_{}^{}f(x,y)dxdy

就是对于区域D下的面积,和每个微元的函数值的积分,最终形成体积的概念。就是求和公式:

\sum_{i=1}^{n}f(x_i,y_i)\Delta A

而通过换元u,v, f(x(u,v),y(u,v)) 可以看成复合函数f(T(u,v))

还是从求和公式出发先:

\sum_{i=1}^{n}f(u_i,v_i)\Delta A'

核心就在于求和公式中\Delta A\Delta A'的区别

我认为简明微积分的做法更加正确。

首先毫无疑问,从单变量微积分讲,dx=f'(u)du

这是因为自变量u的改变量du会引起因变量dx的改变量,它近似与f'(u)du,当du趋于0时,可以把高阶无穷小(相对于du)舍去,也就是直接等于。

类比到二元微积分中,就是因变量dxdy=Adudv

因为是两个变量,几何上要从一维的长度变成二维的面积。

注意,其实dxdy和dudv应该是一个整体,只是进行积分计算的时候,我们可以化成累次积分。

所以考虑uv下的自变量的改变量d\sigma,它引起的因变量的改变量d\sigma',我们可以画图:

也就是四个点,A(x(u,v),y(u,v),  B(x(u+du, v), y(u+du), v)

                         C(x(u,v+dv),y(u,v+dv)),  D(坐标忽略)

这个新的四边形的面积就是因变量的改变量。

我们用叉乘算出面积:

至于为什么二元是面积的变化,包括更高维度怎么处理,我们需要去学习卓里奇的数学分析再看了。 

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