迪杰斯特拉算法详解

news2024/9/25 15:27:39

迪杰斯特拉算法详解

首先要知道的是，迪杰斯特拉算法是求解单源最短路径的，就是在一个图中（无向图和有向图均可），指定一个源点，求出来这个源点到其他各个节点的最短路径。
在这里插入图片描述

存图

首先，我需要用邻接矩阵把图存起来，邻接矩阵也就是一个二维数组。例如如果节点1到节点2的距离为20，那么邻接矩阵的 [1] [2] = 20。我是这样保存的：如果题目中没提到距离，只是说明了是否存在路径，那么就将存在路径的邻接矩阵值设置为1，否则设置为0，设置 [i] [i] = 1,因为自身肯定是能到达自身的嘛；如果题目给了节点之间的距离，那么对应的邻接矩阵的值也要设置为其距离，到不了的就设置为INF（无穷大）,设置 [i] [i] = 0，因为自身到自身的距离肯定是0。
以没提到距离的情况来写代码就是这样的：

class Graph  : public QObject
{
	Q_OBJECT

public:
	Graph(int V, QObject *parent);
	~Graph();

	void addEdge(int u, int v, int w);
private:
	int V;  // 顶点的数量
	int adjMatrix[MAX][MAX];  // 邻接矩阵
};

在构造函数中初始化邻接矩阵

Graph::Graph(int V, QObject *parent)
	: V(V),
	QObject(parent)
{
	for (int i = 0; i < V; ++i)
        for (int j = 0; j < V; ++j)
        {
            // 初始化邻接矩阵
            adjMatrix[i][j] = (i == j) ? 1 : INF;
            // 如果是有距离的情况，写这个
            // adjMatrix[i][j] = (i == j) ? 0 : INF;
        }
			
}

添加边

void Graph::addEdge(int u, int v, int w)
{
	adjMatrix[u][v] = w;
	adjMatrix[v][u] = w;
}

迪杰斯特拉思路

首先，我需要设置一个容器，假设为A，A中存放的是当前已经访问过的节点以及该节点到达源点的最短距离（注意，这个会随着后面节点的加入而不断更新）。同时，还需要设置一个数组visited来标记这个节点是否已经访问过（不然我怎么知道这个节点有没有被访问过呢），再设置一个数组parent用来保存计算好的最短路径，例如 parent [5] = 1 ，表示节点5的父节点为节点1，依次再找出节点1的父节点……就能够找到最短路径。

然后就是，先把我的源点放入容器A中，同时设置状态为已访问，目前起点就是我的源点，然后从剩下的未被访问过的节点中依次取出与起点相连通的节点进行比较，如果节点到起点的距离与起点到源点的距离之和小于源点到该节点的距离，那么就将此节点和其到源点的距离放入A中，同时设置其parent值为起点。

然后从A中取出到源点距离最近的节点，将起点改为此节点，同时设置状态为已访问，然后再次从剩下的未被访问过的节点中依次取出与起点相连通的节点进行比较，如果节点到起点的距离与起点到源点的距离之和小于源点到该节点的距离，那么就将此节点和其到源点的距离放入A中，同时设置其parent值为起点（如果A中已经存在此节点，那么就更新其距离为它到当前设置的起点的距离与起点到源点的距离之和，同时更新parent值为当前设置的起点）。

以此类推，直到所有节点均被访问为止。这里使用到的原理是，如果某个节点到起点的距离是最短的，那么它到源点的距离也将是最短的，通过遍历不同的起点，不断比较和更新节点到源点的距离，来得到最优解。

只看文字有点绕口，来看代码吧！

代码详解

// src就是源点，dist就是上面提到的容器A，adjMatrix就是保存图的邻接矩阵
void Graph::dijkstra(int src, std::vector<int>& dist, int adjMatrix[MAX][MAX])
{
    // 使用优先队列来选择下一个要处理的节点
    // pair<int, int>表示距离和节点的组合，greater确保队列按距离递增的顺序排列（小的在队头）
    // 默认先比较第一个元素，第一个相等则比较第二个
    std::priority_queue<std::pair<int, int>, std::vector<std::pair<int, int>>, std::greater<std::pair<int, int>>> pq;
    // 用于标记节点是否已经被访问
    std::vector<bool> visited(V, false);
    // 初始化存储最短路径的向量为无穷大(INF)
    dist = std::vector<int>(V, INF);
    // 将源节点及其距离(0)放入优先队列
    pq.push(std::make_pair(0, src));
    // 将源节点到自身的距离设置为0
    dist[src] = 0;
    // 用于存储最短路径的父节点
    std::vector<int> parent(V, -1);
    // 进入主循环，直到优先队列为空
    while (!pq.empty()) 
    {
        // 从优先队列中取出当前距离最小的节点
        int u = pq.top().second;
        // 将该节点从优先队列中移除
        pq.pop();
        // 标记当前节点为已访问
        visited[u] = true;
        // 遍历与当前节点相邻的所有节点
        for (int v = 0; v < V; ++v)
        {
            // 检查如果节点未被访问、存在连接边，并且通过当前节点的路径距离更短
            // 这里存在连接边的设置考虑到了路径包含距离与不包含距离的两种情况
            // 包含距离，不存在连接边则adjMatrix[u][v]==INF
            // 不包含距离，不存在连接边则adjMatrix[u][v]==0
            if (!visited[v] && adjMatrix[u][v]!=INF && adjMatrix[u][v] && dist[u] + adjMatrix[u][v] < dist[v])
            {
                // 更新从源节点到节点v的最短路径
                dist[v] = dist[u] + adjMatrix[u][v];
                // 记录最短路径的父节点
                parent[v] = u;
                // 将更新后的节点v及其新距离放入优先队列
                pq.push(std::make_pair(dist[v], v));
            }
        }
    }
}

这里用到了STL里面的优先队列，以此来找到dist中到源点距离最近的节点。
将这个节点作为起点，不断的从剩下未被访问的节点中取出节点，计算出取出的节点到起点的距离与起点到源点的距离之和来与取出的节点到源点的距离作比较，如果前者更小，那么就更新这个节点到源点的距离。

最后当所有节点的状态都是已访问时，直到队列弹出最后一个元素，退出循环。

打印路径

上面说到，路径信息都保存在了parent数组中，该怎么打印出来呢？
简单点，设置一个栈，栈的特性是先进后出，我们把最后一个节点的parent先压入栈中，然后再把最后一个节点的parent的parent压入栈中……最后在压入源点，再依次弹出栈顶元素就好啦！

// src表示源点，dest表示终点
// 如果想得到源点到所有终点的路径，加个循环即可
void Graph::saveDjPath(int src, int dest, std::vector<int>& parent)
{
    std::stack<int> path;
    int current = dest;
    while (current != src) 
    {
    	// 进栈
        path.push(current);
        current = parent[current];
    }
    // 将源点压入栈中
    path.push(src);
    std::cout<<src<<"到"<<dest<<"路径为：";
    while (!path.empty()) 
    {
        std::cout<<path.top()<<' ';
        path.pop();
    }
    cout<<endl;
}