贝叶斯球

定义几个术语，描述贝叶斯球在一个结点上的动作：

• 通过（pass through）：从当前结点的父结点方向过来的球，可以访问当前结点的任意子结点（父->子）。从当前节点的子结点方向过来的球，可以访问当前结点的任意父结点。（子 -> 父）
• 反弹（bounce back）：从当前结点的父结点方向过来的球，可以访问当前结点的任意父结点。（父->父）从当前节点的子结点方向过来的球，可以访问当前结点的任意子结点。（子 -> 子）
• 截止（block）：当前结点阻止贝叶斯球继续运动

贝叶斯球算法(规则)：假设在贝叶斯网络中有一个按一定规则运动的球。已知中间结点（或结点集合）Z，如果球不能由结点X出发到达结点Y（或者由Y到X），则称X和Y关于Z独立。

规则：

• 未知结点：总能使贝叶斯球通过，同时还可以反弹从其子结点方向来的球。（父 -> 子）|（子-> 父/子）
• 已知结点：反弹从其父结点方向过来的球，截止从其子结点方向过来的球。（父 -> 父）|（子->“截止”）

三种简单的结构，其中灰色球表示已知节点

Tail to tail 模型：$A\perp B|C$
$$\begin{array}{rl}P(A,B|C)& =\frac{P(A,B,C)}{P(C)}\\ & =\frac{P(C)P(A|C)P(B|C)}{P(C)}\\ & =P(A|C)P(B|C)\end{array}$$

head to tail 模型：$A\perp B|C$
$$\begin{array}{rl}P(A,B|C)& =\frac{P(A,B,C)}{P(C)}\\ & =\frac{P(A)P(C|A)P(B|C)}{P(C)}\\ & =\frac{P(A,C)P(B|C)}{P(C)}\\ & =P(A|C)P(B|C)\end{array}$$

head to head 模型:$A\perp B$，$A/\perp B|C$

例子：A 和 B 是否关于 F 条件独立？

首先贝叶斯球从A出发滚到F处，F为已知节点，反弹来自父节点的球，无法达到B，所以$A\perp B|F$

例子：A 和 B 是否关于 C 条件独立？

首先贝叶斯球从A出发可以直接滚到B处，所以$A/\perp B|C$