LeetCode 1954. 收集足够苹果的最小花园周长：数学O(1)的做法

news2024/10/2 3:21:49

【LetMeFly】1954.收集足够苹果的最小花园周长：数学O(1)的做法

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/minimum-garden-perimeter-to-collect-enough-apples/

给你一个用无限二维网格表示的花园，每一个 整数坐标处都有一棵苹果树。整数坐标 (i, j) 处的苹果树有 |i| + |j| 个苹果。

你将会买下正中心坐标是 (0, 0) 的一块 正方形土地 ，且每条边都与两条坐标轴之一平行。

给你一个整数 neededApples ，请你返回土地的 最小周长 ，使得至少有 neededApples 个苹果在土地 里面或者边缘上。

|x| 的值定义为：

如果 x >= 0 ，那么值为 x
如果 x < 0 ，那么值为 -x

示例 1：

输入：neededApples = 1
输出：8
解释：边长长度为 1 的正方形不包含任何苹果。
但是边长为 2 的正方形包含 12 个苹果（如上图所示）。
周长为 2 * 4 = 8 。

示例 2：

输入：neededApples = 13
输出：16

示例 3：

输入：neededApples = 1000000000
输出：5040

提示：

1 <= neededApples <= 10¹⁵

方法一：求公式

边长为 $2 n$ 的正方形，苹果数量为多少呢？

由于X和Y是相互独立的，因此二者可以分开来看。对于X：

边长为 $2 n$ 的正方形一共有 $2 n + 1$ 行，每行有Y轴左右共 $2$ 部分。只考虑其中一行Y轴右侧的部分：

对苹果的总贡献数为 $0+1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$

因此所有的X的贡献为 $(2n+1)\times2\times\frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)(2n+1)$

由于Y与X类似，所以Y的贡献与X相同，因此边长为2n的正方形的苹果数为 $2 n (n + 1) (2 n + 1)$

$n$ 为多少才能至少有neededApples个苹果呢？

将上式处理一下： $2n(n+1)(2n+1)=4n(n+1)(n+0.5)\approx 4n^3$ 并且大于 $4n^3$

也就是说要求的 $n$ 就在 $\sqrt[3]{\frac14neededApples}$ 附近。令 $m=\sqrt[3]{\frac14neededApples}$ ，其实从 $\lfloor m\rfloor - 10$ 到 $\lfloor m\rfloor+10$ 算一遍就直到答案了。

有没有更靠谱/可信一点的证明？ （此部分可跳过）

令 $n=\lfloor m\rfloor$ ，令 $f (n) = n (n + 1) (n + 0.5)$ ，则是在求最小的 $n$ 使得 $f(n)\geq \frac14neededApples$ 。因为有：

$f(n-1)=(n-1)n(n-0.5)\lt n^3\leq m^3=\frac14neededApples$ ，因此 $n - 1$ 必定偏小
$f(n+1)=(n+1)(n+2)(n+1.5)\gt (n+1)^3=\lceil m\rceil^3\gt \frac14neededApples$ ，因此 $n + 1$ 必定满足要求

所以答案 $an s$ 的范围是： $[n, n + 1]$ ，其中 $n=\lfloor m\rfloor=\lfloor \sqrt[3]{\frac14neededApples}\rfloor$ 。

因此只需要先计算出 $\lfloor \sqrt[3]{\frac14neededApples}\rfloor$ ，并在不满足要求（苹果数偏少）时不断加加一，直到满足要求即可。（最多会加1次一）

时间复杂度 $O (1)$ ，开立方根有内置库，可视为 $O (1)$ 时间复杂度
空间复杂度 $O (1)$

AC代码

C++

/*
x: 2(2n+1)(1+2+...+n)=n(n+1)(2n+1)
y = x
x + y: 2n(n+1)(2n+1) = 4n(n+1)(n+0.5)≈4n^3
*/
class Solution {
public:
    long long minimumPerimeter(long long neededApples) {
        long long ans = cbrt((double)0.25 * neededApples);
        while (2 * ans * (ans + 1) * (2 * ans + 1) <  neededApples) {
            ans++;
        }
        return ans * 8;
    }
};

Python

# from numpy import cbrt

class Solution:
    def minimumPerimeter(self, neededApples: int) -> int:
        ans = int(cbrt(0.25 * neededApples))
        while 2 * ans * (ans + 1) * (2 * ans + 1) < neededApples:
            ans += 1
        return ans * 8