题目链接：leetcode下降路径最小和
目录
题目解析：
算法原理
1.状态表示
2.状态转移方程
3.初始化
4.填表顺序
5.返回值
编写代码
题目解析：
题目让我们求通过 matrix 的下降路径 的 最小和
由题可得：
在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列
（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）
如图：
我们用示例一分析：
当我们从数字1开始走的时，此时有如上图几种走法；
其他数字也是同理
我们这里只要下降路径 的 最小和，
所以这里我们这里可以得到这两条下降路径和最短：
算法原理:
1.状态表示
先创建一个dp表
首先先思考dp表里面的值所表示的含义（是什么？）
dp[i][j]表示到达[i][j]位置的下降路径的最小和。
这种状态表示怎么来的？
1.经验+题目要求
用之前或者之后的状态，推导出dp[i][j]的值；
根据最近的最近的一步，来划分问题
经验：以[i][j]位置为结尾，用之前的状态推导出dp[i][j]的值
题目要求：求下降路径 的 最小和
2.状态转移方程
dp[i][j]等于什么？
根据最近的最近的一步，来划分问题
如图，求[i][j]位置的下降路径的最小和时，分为三种情况：
第一种：从[i-1][j-1]位置加上[i][j]位置的值
我们此时只要用到达[i-1][j-1]位置的下降路径的最小和，再加上[i][j]位置的值（matrix[i][j]）就可以得到下降路径的最小和。
而这里的“到达[i-1][j-1]位置的下降路径的最小和”正好是我们的状态表示dp[i-1][j-1];
即：dp[i]=dp[i-1][j-1]+matrix[i][j]
第二种：从[i-1][j]位置加上[i][j]位置的值
我们此时只要用到达[i-1][j]位置的下降路径的最小和，再加上[i][j]位置的值（matrix[i][j]）就可以得到下降路径的最小和。
而这里的“到达[i-1][j]位置的下降路径的最小和”正好是我们的状态表示dp[i-1][j];
即：dp[i]=dp[i-1][j]+matrix[i][j]
第三种：从[i-1][j+1]位置加上[i][j]位置的值
我们此时只要用到达[i-1][j+1]位置的下降路径的最小和，再加上[i][j]位置的值（matrix[i][j]）就可以得到下降路径的最小和。
而这里的“到达[i-1][j+1]位置的下降路径的最小和”正好是我们的状态表示dp[i-1][j+1];
即：dp[i]=dp[i-1][j+1]+matrix[i][j]
总结以上三种情况：
因为我们这里要取下降路径的最小和
所以状态转移方程应该为：
dp[i][j]=min({(int)dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j+1]})+matrix[i-1][j-1];
3.初始化
(保证填表的时候不越界)
在0行0列和n列的时候越界，所以我们这里可以在m*n的外围多加1行2列，如图：
还有一个问题是：
我们要拿新增用来初始化的行和列要初始化为几呢？
这里我们需要注意的一点就是在dp[1][1]的时候，最小的下降路径就是他本身
根据状态转移方程，如下图三个位置会影响他的值
为了能够取到他本身，
我们这里需要把这三个位置的其中一个初始化为0，其他的位置初始化为INT_MAX（无穷大）
4.填表顺序
（为了填写当前状态的时候，所需要的状态已经计算过了）
这里所需要的状态是：dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j+1]
所以应该从上到下，从左到右填表
5.返回值
（根据题目要求和状态表示）
综上分析：
返回值为：最后一行的最小值
编写代码:
class Solution {
public:
int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
//1.创建dp表
//2.初始化
//3.填表
//4.返回结果
int n=matrix.size();
vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(n+2,INT_MAX));
for(int i=0;i<n+2;i++)
dp[0][i]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
dp[i][j]=min({(int)dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j+1]})+matrix[i-1][j-1];
int tmp=INT_MAX;
for(int i=0;i<=n;i++)
{
tmp=min(tmp,dp[n][i]);
}
return tmp;
}
};
