《洛谷深入浅出进阶篇》进阶数论

本文章内容比较长，请耐心食用！！！！！

一，模意义下的数和运算。

啥是模？喵喵喵！
模意义下，数是之间如何运算？喵喵喵！
什么是同余？同余有哪些性质？喵喵喵！
啥是不定方程?喵喵喵！
啥是裴蜀定理？喵喵喵！
啥是欧几里得算法？喵喵喵！
裴蜀定理+欧几里得算法 = 扩展欧几里得？喵喵喵！
扩展欧几里得有啥用？喵喵喵！
例题讲解！！喵喵喵！喵喵喵！喵喵喵！

啥玩意是模？喵喵喵！喵喵喵！喵喵喵！

模就是“%”d 读法，即“mod”的读音。它的含义是被除数除以除数剩下的余数

例如 12%5=2 ，表示12模以5的余数是2.

更严谨的定义是：

对于整数a，b，满足 b>0,则存在唯一的整数q，r ，满足 a=q*b+r ，( 0<= r< b ) .

其中q叫做商，r叫做余数，用 a mod b or a%b 表示

模意义下，数是之间如何运算？喵喵喵！

1，加法：（a+b）% M = ( a%M + b%M ) % M

2，减法：（a-b）% M = ( a%M - b%M ) % M

3，乘法：（a*b）%M = （a%M * b%M）%M

（这里以二元运算举例，实际上，对于多元算式，这三个规则仍然成立）

为啥取模运算法则里没有除法？喵喵喵！

实际上，除数是不能直接写成（a/b）%M = （a%M / b%M ） % M

比如 a=12 ， b=3， M=6 （a/b）%M =4

（a%M / b%M ）%M = 0.

在后续的章节，我们会介绍，怎么处理除法运算。

什么是同余？同余有哪些性质？喵喵喵！

同余指的就是，有两个数，这两个数模以同一个数的结果是相同的，那么这两个数之间就有

一种关系，叫同余。

表示为： $a\equiv b(mod \ p)$

下面介绍一些具有同余关系的数的几个重要的性质：

1、传递性 $a\equiv b(mod \ p) \ \, \ \ b \equiv c (mod\ p)>>>>a\equiv c (mod\ p)$

2、同加性 $a\equiv b(mod \ p)\ >>>>>> a+m\equiv b+m (mod\ p)$

3、同乘性: $a\equiv b(mod \ p)\ >>>>>> am\equiv bm(mod\ p)$

4、同幂性 $a\equiv b(mod \ p)\ >>>>>> a^{m}\equiv b^{m} (mod\ p)$

5、歪比八卜性： $a\equiv b(mod \ p)\ >>>>>>p|(a-b)$

啥是不定方程?喵喵喵！

不定方程，又称为丢番图方程，通俗的说就是多个未知数的方程，求解只在整数范围内进行。

比如： ax+by=c 的二元一次方程。

对于这样子的方程如何求其整数解？

解不定方程需要三个工具：

下面介绍这些工具里面最为重要的一个：

由法国数学家裴蜀提出的的一个定理：裴蜀定理

啥是裴蜀定理？喵喵喵！

裴蜀定理是一切的基石

裴蜀定理的内容：

对于整数a，b，设他们的最大公约数gcd（a，b）=d。

那么一定存在无穷多对整数对（x，y），使得ax+by=d。

这里给出裴蜀定理的证明。

由不定方程的形式我们可以看出：

ax+by=c。

c的取值随着x，y的改变而改变，我们取所有的c中的最小正整数解，设为S。

要证明S=gcd(a,b)

也就是要证明：S | gcd(a,b)，gcd(a,b)| S （这是数论中常用的证明两数相等的方法）

先证明gcd（a,b)|S

因为，a，b都是gcd（a，b）的倍数，且x1，y1都是整数，那么必然 gcd(a,b)| ax+by

所以gcd(a,b)|S

然后证明S|gcd(a,b)

也就是gcd(a,b)是S的倍数。

如果gcd（a，b）是S的倍数，那么必然，S是a，b的公因数。

设 a=pS+r

将 S=ax+by带入有：

a= p*ax+p*by+r

把它整理一下：

a（1-px）+b（-py）= r （r=a%S）

我们会发现：卧槽，这不是不定方程的形式吗？

因为r = a%S , 即r 必然与 S 是同号的。

且r 必然小于 S

所以我们前面假设的 S是最小整数解，就不成立了，所以r必然不存在，所以 a一定是S的倍数。

同理可得b一定是S的倍数。

所以S是a，b的公约数

S|gcd（a，b）

证毕

所以我们就可以由裴蜀定理引出一个定理：

裴蜀定理：有无穷个整数对（x，y）使得 ax+by=gcd（a，b）

推论：

若 ax+by = c 有解，那么c 一定是gcd（a，b）的倍数

啥是欧几里得算法？喵喵喵！

先直接给出结论：

gcd（a，b）=gcd（b，a%b）（gcd（a，b）代表最大公约数）

要证明欧几里得算法，首先要了解一些基础的整除理论。

1、要证明 a=b 可以证明：a|b ，b|a

2、如果 d|a，d|b 那么 d| (ax+by）（裴蜀定理应用）

3、对于任意两个数a，b有：a=pb+r ，（其中 p= [a/b], r=a%b）

要证明 gcd(a,b) = gcd ( b,a%b)

即证明 gcd(a,b)|gcd(b,a%b) gcd(b,a%b)|gcd(a,b)

先证明：gcd(a,b) | gcd(b,a%b) :

设 a=qb+r -> r = a-qb

设 d=gcd(a,b)

因为d | a, d | b , 所以 d | (ax+by) 即 d|(a-qb) 即 d|r

又因为：r = a%b

所以 d | gcd（b，a%b）

------------------------------------------

------------------------------------------

只要证： gcd(b,a%b) | gcd(a,b)

设 c = gcd(b,a%b)

设 a= qb+r

因为 c | b , c | r, 所以 c|（bx+ry）所以 c|（qb+r）

所以 c|a

因为c|a，c|b，所以c|gcd(a,b)

证毕

所以 c==d

gcd(a,b) | gcd(b,a%b) :

裴蜀定理+欧几里得算法 = 拓展欧几里得算法？喵喵喵！喵喵喵！

前面两个算法就是求解ax+by=c这样的不定方程的两个最重要的基础，

我们将前面两种方法融合，形成了终极大招：拓展欧几里得算法。

ax+by = c （由裴蜀定理知，c为gcd（a，b）的倍数）

设d=gcd（a，b） c=t*d

两边同时除以t可得：

ax+by = d

所以我们只要求出ax+by=d的整数解，再乘以t就可以了

又因为gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

所以：bx+（a%b）y = d 也有解

在这个基础上：

令 a%b =a ， b%（a%b）= b 迭代下去

（a%b）x + b%（a%b）y =d 仍有解。

我们发现：卧槽这不就是欧几里得算法吗？

欧几里得算法：gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

一直递归迭代下去，当b为0的时候，就求解到的最大公约数是多少：

所以，我们可以直接借用欧几里得算法进行迭代，直到b=0.

对于

ax+by = d 这个不定方程，当b为0 的时候，此时的a就是gcd（a，b），所以x的取值是1

而y的取值可以为任意值，我们默认写0.

所以，递归的边界我们找到了，即b==0，y=0，x=1.

那么我们怎么迭代回去呢？

让我们看到迭代的通项公式：

ax+by=d --------> bx+（a%b）y = d (左右两边的x，y必然是不一样的，标号为1，2）

$ax_{1}+by_{1} = bx_{2}+(a\ mod\ b)y_{2}$

又因为 $a mod \ b = a -[\frac{a}{b}]b$

得到： $ax_{1}+by_{1} = bx_{2}+(a -[\frac{a}{b}]b)y_{2}$

整理：

$ax_{1}+by_{1} =ay_{2}+ b(x_{2}-[\frac{a}{b}]y_{2})$

由系数相同可得：

x1=y2, y1=(x2-a/b *y2)

所以我们从底部在复原回去的过程就是：

上一层的x，等于这一层的y

上一层 y ，等于这一层的x，y的表达式：(x2-a/b y2)

我们只需要按照顺序迭代加深，自然递归结束后就会一层一层回去。

模板：
void exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
	if (!b) {
		x = 1, y = 0;
		return;
	}
	
	exgcd(b, a % b, x, y);
	int z = x;
	x = y;
	y = z - a / b * y;
}
我们可以很清楚的看到：首先把这一层的x存下来，即x2，把它存给z，此后z就代表x2。

根据” 上一层的x，等于这一层的y”这句话

我们把y2赋值给x ，也就是 x=y ，从此时开始，x表示的值不再是x2，而是x1.

然后我们需要继续把y也给变成上一层的y。

也就是 x2 - a/b y2.

所以就有了 y=z-a/b*y

此时开始，y就代表着上一层的y1.

还有另一种简化版本：（大家看喜欢哪个版本直接用就好了）
void exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
	if (!b) {
		x = 1, y = 0;
		return;
	}
	
	exgcd(b, a % b, y, x);
	y = y - a / b * x;
}
这个模板就是拓展欧几里德的内容。

但是！！！！！

还不够，为什么？

有些时候，一些题目求出来的解虽然没明说，但是暗戳戳地暗示了要最小正整数。

而我们扩展欧几里得求出来的数可能是负数。

所以，我们需要直到通项公式，这样就可以求出最小正整数了。

求通项公式的方法很简单，下面不给出证明地告诉你怎么求：

（懒得给证明，因为好长）

1、首先求出 ax+by=0的一组最小的非零解（不是最小正整数解！！是x，y的绝对值最小）。

2、由于a，b是确定的，这个方程转化为：|ax| =|by|

当x的绝对值变大的时候，显然y的绝对值也会变大。

显然|by|一定是a的倍数，而且a是已知的，所以要让|x|变得最小，也就是|ax|变得最小，

也就是|by|变得最小

我们想到：一个数（如by）即是a的倍数，又是b的倍数，它的绝对值能变得多小？

对啦！那就是最小公倍数喵~

所以当|ax|=|by|=lcm（a，b）的时候，我们可以求出最小非零解。

x = lcm（a，b）/ a

又因为lcm（a，b） = ab / gcd（a，b）

所以x= b/gcd（a，b）

也就是：另一个系数除以它们的最大公约数。

所以：

通项公式就是： x= x1 + k*（b/gcd（a，b））（x1，是我们拓展欧几里得求出来的解）

（k是任意整数)

y=y1+k*(a/gcd(a,b))

拓展欧几里得算法有啥用？喵喵喵！

求解不定方程。

在我们后面会学到逆元的内容。我们就需要把逆元式子也转化乘不定方程的形式，

然后用拓展欧几里得算法,求出任意一个正整数解辣！！！

例题讲解！！！喵喵喵！

《洛谷深入浅出进阶篇》欧几里得算法，裴蜀定理，拓展欧几里得算法————洛谷P1516 青蛙的约会-CSDN博客https://blog.csdn.net/louisdlee/article/details/134751119?spm=1001.2014.3001.5502

二、乘法逆元喵喵喵！喵喵喵！喵喵喵！

啥是乘法逆元捏？
乘法逆元有啥用捏？
我们有什么方法来求乘法逆元捏？
例题讲解捏!!!

啥是模意义下的乘法逆元？喵喵喵！

乘法逆元用一个式子就可以搞得定辣！

例如：

$5*\frac{1}{5}=1$

其中， $\frac{1}{5}$ 的乘法逆元就是 $5$ ，也可以说 $5$ 的乘法逆元是 $\frac{1}{5}$

一个数的乘法逆元乘以这个数本身得到1.

而其他数乘以这个数，等于除以这个数的逆元。

或者说，除以这个数，等于乘上这个数的逆元。

我们把它拓展到模运算中：

$a*x\equiv 1 (mod\ p)$

a乘以它的逆元，模上模数得到1.

其中x是a的逆元，或者也可以说a是x的逆元。

还是一样的性质，

一个数在模运算下除以a，等于乘上a的逆元取模。

所以，有了逆元之后，我们就可以处理带除法的模的运算啦，喵喵喵！

但是，值得注意的是，逆元仅在a，与模数互质的情况下存在！喵喵喵！喵喵喵！

乘法逆元有啥用呢？喵喵喵！喵喵喵！喵喵喵！

有了逆元之后，我们就可以处理带除法的模的运算啦，喵喵喵！

如何求解乘法逆元呢？喵喵喵！喵喵喵！喵喵喵！

下面介绍一些工具！喵喵喵！喵喵喵！喵喵喵！

第一个：扩展欧几里得算法！！！！喵喵喵！喵喵喵！喵喵喵！喵喵喵！喵喵喵！

还是这个式子： $a*x\equiv 1 (mod\ p)$

我们可以把它变成： $a*x + p*y =1$

我们会惊讶惊讶惊讶惊讶惊讶惊讶惊讶惊讶地发现，这就是一组不定方程。

所以我们直接用拓展欧几里得来求解 x 就可以了

最后求出x的通项公式就行了。喵喵喵！喵喵喵！喵喵喵！

第二个捏：费马小定理

若a与p互质，那么有 $a^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$

变形可得： $a*a^{p-2}\equiv 1(mod\ p)$

所以a的逆元就是 $a^{p-2}$ .

然后就可以用快速幂来求解惹。喵喵喵！喵喵喵！

（快速幂的模板不想打捏！喵喵喵！喵喵喵！喵喵喵！这么简单懒得打辣）

第三个:递推求逆元，超级重要！！！喵喵喵！喵喵喵！喵喵喵！喵喵喵！

对于任意一个数 i 和模数 p，我们有 p = i*q+r

变形： $i*q+r \equiv 0 (mod\ p)$

移项： $i \equiv \frac{-r}{p} (mod\ p)$

取倒数： $\frac{1}{i} \equiv \frac{-p}{r} (mod\ p)$

可以表示成： $inv(i) \equiv -inv(r)*q (mod\ p)$

$inv(i) \equiv -inv(r)*[\frac{p}{i}](mod\ p)$

又因为，r=p%i ，一定比i小，所以捏，一定在 i前面被求出来了。

这样的话，我们就得到了递推式子了。

边界就是 inv（1）=1；

然后这样的话，还是有问题，为什么捏？

因为直接求出来的逆元有可能是负数，如果我们需要得到一个最小正整数的逆元，我们就可以不断加p直到大于零。

例题捏！喵喵喵~喵喵喵~喵喵喵~喵喵喵~喵喵喵~

《洛谷深入浅出进阶篇》模意义下的乘法逆元+洛谷P3811-CSDN博客https://blog.csdn.net/louisdlee/article/details/134766892?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522170246734016800211562995%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334.pc%255Fblog.%2522%257D&request_id=170246734016800211562995&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~blog~first_rank_ecpm_v1~rank_v31_ecpm-1-134766892-null-null.nonecase&utm_term=%E6%89%A9%E5%B1%95%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97&spm=1018.2226.3001.4450

三、同余方程与中国剩余定理

（本喵之前已经写过了，所以直接去链接里看吧，喵喵喵~喵喵喵~喵喵喵~喵喵喵~喵喵喵~）

《洛谷深入浅出进阶篇》同余方程+中国剩余定理——洛谷P1495-CSDN博客https://blog.csdn.net/louisdlee/article/details/134788229?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522170246966516800222838792%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334.pc%255Fblog.%2522%257D&request_id=170246966516800222838792&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~blog~first_rank_ecpm_v1~rank_v31_ecpm-1-134788229-null-null.nonecase&utm_term=%E5%90%8C%E4%BD%99%E6%96%B9%E7%A8%8B&spm=1018.2226.3001.4450

四、线性筛（本喵另外写了一篇，直接放上来叭）

是你流的泪晕开——欧拉筛，线性筛-CSDN博客https://blog.csdn.net/louisdlee/article/details/134227096?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522170247015916800185818810%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334.pc%255Fblog.%2522%257D&request_id=170247015916800185818810&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~blog~first_rank_ecpm_v1~rank_v31_ecpm-1-134227096-null-null.nonecase&utm_term=%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%AD%9B&spm=1018.2226.3001.4450

五、欧拉函数（本喵另外写了一篇，直接放上来叭，内有例题哦）

选自《洛谷深入浅出进阶篇》——欧拉函数+欧拉定理+扩展欧拉定理-CSDN博客https://blog.csdn.net/louisdlee/article/details/134858233?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522170247021816800185887376%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334.pc%255Fblog.%2522%257D&request_id=170247021816800185887376&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~blog~first_rank_ecpm_v1~rank_v31_ecpm-1-134858233-null-null.nonecase&utm_term=%E7%A7%AF%E6%80%A7%E5%87%BD%E6%95%B0&spm=1018.2226.3001.4450