混频器

混频器是一个三端器件，两个输入一个输出，输出信号等于输入信号的乘积。所以混频器可以将两个不同频率的信号通过相乘的方式，从而产生原本两个频率和与差的新信号。

---

数学推导举例：

我们假设$signal1=sin(w1\ast t)$,本振信号$signal2=cos(w2\ast t)$,由积化和差公式，我们可以算出输出信号
$$output=1/2[sin((w1+w2)\ast t+sin((w1-w2)\ast t)]$$
由此经过混频后，我们可以得到由输入信号和本振信号频率和与频率差组成的新信号，并根据我们的需要使用滤波器滤除不想要的频率信号，得到经过上变频或下变频的信号。

其他输入信号的情况均可由积化和差公式计算出来。

积化和差公式如下

---

频谱搬移

"混频器"小节中我们说到了，对于单音信号输入时的情况，而工程中我们的输入信号往往是一个具有一定带宽的信号，此时我们进行混频的效果又该是怎样的啦？

本振信号通常是一个设定的特定频率的正弦或余弦信号，其频谱图如下：

由信号与系统的知识我们可以知道：信号的时域的乘积对应于频域的卷积。

将上式的c(t)换成正余弦的本振信号，则在频域对应的是输入信号频谱与本振信号频谱的卷据过程。

数学推导的卷积运算得到的结果：

---

下面以余弦本振下变频为例进行卷积举例：

由上图可见，混频器的输入信号X(w)频谱在搬移过程中有向左边搬移，也有向右边搬移的过程（本振的两段频谱），最后出现了四段频谱。如果本振频率等于射频频率，中间的两个频率段都变为零频放在一起。

通过上面的卷积过程可以看出：一个信号在时域中与余弦、正弦或复信号相乘，等效于频域的频谱搬移。

验证代码如下：

clear all;close all;clc; %清理工作区，关闭所有窗口，清空文本
A =  [6 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 5 6];
B1 = [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0];
B2 = [0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
C1 = conv(A,B1);
C2 = conv(A,B2);
figure(1);
%% 输入信号
subplot(131);
ta = -11:1:11;
bar(ta,A);
title('输入信号频谱');
xlabel('f');
ylabel('X');
ax = gca;
ax.YAxisLocation = 'origin';%y轴线位置放于原点处
%% 本振
subplot(132);
tb = -11:1:11;
bar(tb,B1,'g');
hold on;
bar(tb,B2,'r');
title('本振频谱');
xlabel('f');
ylabel('LO');
tc = -22:1:22;
ax = gca;
ax.YAxisLocation = 'origin';%y轴线位置放于原点处
%% 输出信号
subplot(133);
bar(tc,C1,'g');
hold on;
bar(tc,C2,'r');
title('输出信号频谱');
xlabel('f');
ylabel('Y');
set(gcf,'color','w');%背景白色
ax = gca;
ax.YAxisLocation = 'origin';%y轴线位置放于原点处

---

如何进行频谱搬移啦：
对于本振的正频率处，输入信号频谱向正频率方向整体搬移此频率；对于本振的负频率处，输入信号频谱向负频率方向整体搬移此频率。同时也要注意正负与幅值(混频后的信号幅值会发生改变的，如上面的数学推导所示，这里分析先不关心)。频谱搬移在进行信号的混频和镜像抑制分析等方面很有用。

IQ调制与解调上下变频举例：
一定要注意正弦这里的j，它表示的是以余弦为基准的90度相位关系，j为90°，-j为-90°；在进行频谱搬移的时候要带上j，这样才能在两次正弦混频后将j消除(j²=-1)，此时可以方便的进行频谱的加减。这在镜像抑制等应用中很有用。

射频调制信号可经过IQ解调器解调，经过低通滤波器之后分别得到I 和Q 信号。IQ调制与解调信号的过程如下：

频谱搬移例子2：

何为镜像频率

镜像频率：存在于频谱分析仪输入端的两个或多个真实信号在同一个本振频率上产生的中频响应，由于这些混频分量出现在同一个本振和中频频率处，所以无法区分。

例如：当本振频率为 5 GHz 时，频率为 4.7 GHz 和 5.3 GHz 的输入信号都能在中频处产生响应，这些信号的频率被称为镜像频率，它们之间也是相隔 2倍中频。

如果进行下变频的信号中混有干扰信号，在使用余弦本振进行下变频的时候，经过左右频谱的搬移后的和信号就会出现下图(e)中的情况，干扰信号的频段落在有用信号频段内。此种情况中，干扰信号与射频信号的频谱之间相距2W_IF,如下图(b)所示。从下图中可以看出，之所以出现镜像频率和镜像干扰的原因是频谱进行两次搬移后使得干扰信号与有用信号叠加，如果没有两次搬移则不会出现这种叠加现象了，复混频即可解决这种问题。

信号的复混频

在DFT(离散傅里叶变换)的通俗理解的"复信号的频谱"小节中我们看到复信号只有单边的频谱，如果进行复混频，整体上看频谱只被搬移一次。

频谱图：

---

其推导过程如下：

给S(t)求CFT，得到：

我们可以清楚的发现复信号的傅里叶变换可以变为正弦函数的傅式变换和余弦函数的傅式变换之和，我们知道正弦函数和余弦函数的傅式变换分别为：

那我们就可以很容易得到复信号S(t)的傅式变换为(6)式与(7)式之和，即：

这样我们就得到了复信号S(t)的傅式变换。

---

复混频的本振信号为复指数信号$e^{jwRFt}$，设基带信号x(t)，对应的频谱为X(w)，复混频输出信号为：

其中

则有：

复混频的原理如下图所示：

由上图可以看到，复混频其实进行了两次混频，分别得到实部和虚部，运算时将I路作为FFT的实部，Q路作为FFT的虚部进行运算。低通滤波器滤除频谱搬移后的高频分量。

---

进行简单的数学推导理解：

设输入信号为：

经过两路混频后得到的信号为：

写下来经过低通滤波器后滤除掉高频成分：

将I路作为FFT的实部，Q路作为FFT的虚部后的信号为：

求FFT后可以得到幅值为A/2,频率为w1-w2的单边谱。

频谱搬移过程如下：

以上的频谱搬移过程是根据复混频的原理图中的数据流向进行绘制，实际上只需将原信号频谱进行一次频谱搬移后滤波即可，具体看下面的复混频频谱搬移过程图。

---

频谱搬移过程如下图所示：

​ 实信号复混频——下变频

​ 复信号复混频——下变频

由上面两张图可以看到，不论是实信号还是复信号的复混频，都不会产生镜像频率干扰。

参考

混频原理
数字信号处理基础----信号下变频和解调_信号处理 上下变频
复信号的傅里叶变换是什么？频谱是什么样子的？3D频谱图长啥样子

---

📣您有任何问题，都可以在评论区和我交流📃！
📣本文由 YprgDay 原创，首发于CSDN平台🐵，博客主页：YprgDay的主页
📣您的支持是我持续创作的最大动力！如果本文对您有帮助，还请多多点赞👍、评论💬和收藏⭐！

---