一、题目

1、题目描述

你准备参加一场远足活动。给你一个二维 rows x columns 的地图 heights ，其中 heights[row][col] 表示格子 (row, col) 的高度。一开始你在最左上角的格子 (0, 0) ，且你希望去最右下角的格子 (rows-1, columns-1) （注意下标从 0 开始编号）。你每次可以往 上，下，左，右 四个方向之一移动，你想要找到耗费 体力 最小的一条路径。

一条路径耗费的 体力值 是路径上相邻格子之间 高度差绝对值 的 最大值 决定的。

请你返回从左上角走到右下角的最小 体力消耗值 。

2、接口描述

class Solution {
public:
    int minimumEffortPath(vector<vector<int>>& heights) {

    }
};

3、原题链接

1631. 最小体力消耗路径

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二、解题报告

1、思路分析

显然我们是要找到左上到右下所有路径中最小的体力消耗值，我们不妨定义边权为高度差，随后我们有两种选择：

F1 按照最短路求解

在本题中，我们路径长度变为了路径上最大高度差，那么我们仍然能用最短路求解，我们以Dijkstra为例，我们dist转移从加权转移变为了最大高度差转移

F2 Kruscal

为什么能用Kruscal？当我们执行生成树流程，当加入一条边使得起点终点连通，那么这条边权就是我们的答案。

证明：设最后一条边e

1、往证e在最优路径上

如果e不在最优路径上，那么由于我们按照所有边从边权从大到小取边，e之前的边必已经令起点终点连通，那么不会进行到e的情况，因为我们已经返回答案了

2、往证e的边权是最优路径上最大的

假设前面有边权比e权值大，那么由于我们从权值从小到大取边，e必然比前面的大，又矛盾了

1、2得证

2、复杂度

Dijkstra：

时间复杂度：空间复杂度：

Kruscal：

时间复杂度：空间复杂度：

3、代码详解

​Dijkstra

class Solution {
private:
    typedef pair<int, int> PII; 
    #define N 10010
    int dir[5]{0,1,0,-1,0};
    int dist[N];
public:
    int minimumEffortPath(vector<vector<int>>& heights) {
        int m = heights.size(), n = heights[0].size();
        memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
        bitset<N> vis;
        dist[0] = 0;
        priority_queue<PII, vector<PII>, greater<>> heap;
        heap.emplace(0, 0);
        auto posxy = [&](int id){return PII{id / n, id % n};};
        auto pos = [&](int x, int y){return x * n + y;};
        while (heap.size()) {
            auto t = heap.top();
            heap.pop();
            int ver = t.second, w = t.first;
            if (vis[ver]) continue;
            vis[ver] = true;
            auto [x, y] = posxy(ver);
            for (int i = 0; i < 4; i++) {
                int nx = x + dir[i], ny = y + dir[i+1];
                if (nx < 0 || nx >= m || ny < 0 || ny >= n) continue; 
                int nver = pos(nx, ny);
                int nw = max(w,abs(heights[x][y] - heights[nx][ny]));
                if(dist[nver] > nw)
                {
                    dist[nver] = nw;
                    heap.emplace(nw, nver);
                }
                
            }
        }
        return dist[n * m - 1];
    }
};

Kruscal

class Solution {
public:
struct edge
{
    int u , v , w;
    bool operator<(const edge& e)
    {
        return w < e.w;
    }
};
int p[10001];
int findp(int x)
{
    return p[x] < 0 ? x : p[x] = findp(p[x]);
}
void Union(int x , int y)
{
    int px = findp(x) , py = findp(y);
    if(px == py) return;
    if(p[px] > p[py]) swap(px , py);
    p[px] += p[py];
    p[py] = px;
}
bool isUnion(int x , int y)
{
    return findp(x) == findp(y);
}
static constexpr int dir[]{0 , 1 , 0};
    int minimumEffortPath(vector<vector<int>>& heights) {
        memset(p , -1 , sizeof(p));
        vector<edge> edges;
        int m = heights.size() , n = heights[0].size();
        auto pos = [&](int x , int y)->int{
            return x*n+y;
        };
        for(int i = 0 ; i < m ; i++)
        {
            for(int j = 0 ; j < n ; j++)
            {
                for(int k = 0 ; k < 2 ; k++)
                {
                    int nx = i + dir[k] , ny  = j + dir[k + 1];
                    if(nx >= m || ny >= n) continue;
                    int w = abs(heights[nx][ny] - heights[i][j]);
                    edges.emplace_back(edge{pos(i,j) , pos(nx,ny) , w});
                }
            }
        }
        long long ret = 0;
        sort(edges.begin() , edges.end());
        for(auto& e : edges)
        {
            if(isUnion(e.u,e.v)) continue;
            Union(e.u,e.v);
            if(isUnion(0 , m*n-1)) return e.w;
        }
        return ret;
    }
};