树概念及结构

树的结构：

树是一种非线性的数据结构，它是由n个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，即根朝上，叶朝下。

有一个特殊的节点，成为根节点，根节点没有前驱节点

除根节点外，其余节点被分成M个互不相交的集合T1、T2、······Tm，其中每一个集合Ti（1<i<m）又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。

因此，树是递归定义的。

有关树的一些定义：

• 结点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的度为6
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图B、C、H、I···等节点为叶节点
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G····等节点为分支节点
• 双亲结点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图B、C是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第一层，跟的子节点为第二层。依此类推
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图，树的高度为4
• 结点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点，如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m棵互不相交的多棵树的集合称为森林（并查集）；

树的一种表示：

左孩子右兄弟

父节点只指向第一个子节点，其他子结点由第一个子节点指向。以此类推。 

 二叉树的概念及结构：

概念：一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

特殊的二叉树：

完全二叉树：

假设树的高度是h

1. 前n-1层都是满的
2. 最后一层不满，但是最后一层从左往右都是连续的

完全二叉树中度为1的结点最多有一个（1或0） 

假设完全二叉树最后一层·缺了x个，x的范围[0,2^(h-1)-1],最后一层最少有一个节点

满二叉树：

假设一棵满二叉树的高度为h

总结点的个数：2^0+2^1+2^2……+2^(h-1)=N

2^h-1=N

搜索二叉树：

任何一棵树左子树都比根要小，右子树都比根要大 ，搜索中查找一个数，最多查找高度次

时间复杂度为O（N）

特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

任何一棵二叉树由三个部分构成：

1. 根节点

2. 左子树

3.右子树

分治算法：分而治之，大问题分成类似子问题，子问题再分成子问题，直到子问题不可再分割

前序（先根）：根 左子树 右子树

中序（中根）：左子树 根 右子树

后序（后根）：左子树 右子树 根

二叉树的性质：

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大节点数为2^h-1
3. 对任何一棵二叉树，如果度为0其叶结点个数为n0，度为2的分支节点个数为n2，则n0=n2+1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log以2为底的N。 

前序的实现：

先访问根结点，后访问左子树，访问左子树直到访问到空，再访问右子树，用递归即可实现。

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
	BTDataType data;
}BTNode;
void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
		
	printf("%c ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}
int main()
{
	BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	A->data = 'A';
	A->left= NULL;
	A->right = NULL;
	BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	B->data = 'B';
	B->left = NULL;
	B->right = NULL;
	BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	C->data = 'C';
	C->left = NULL;
	C->right = NULL;
	BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	D->data = 'D';
	D->left = NULL;
	D->right = NULL;
	BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	E->data = 'E';
	E->left = NULL;
	E->right = NULL;
	A->left = B;
	A->right = C;
	B->left = D;
	B->right = E;
	PrevOrder(A);
	return 0;
}

中序：

void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PrevOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	PrevOrder(root->right);
}

后序：

void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
}

计算二叉树的结点个数

1.注意传size的地址

void TreeSize(BTNode* root,int* psize)
{
	if (root == NULL)
		return;
	(*psize)++;
	TreeSize(root->left,psize);
	TreeSize(root->right,psize);
}

2.用递归思想直接解决：

int TreeSize(BTNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

计算叶子结点的个数

int TreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	if (root->left && root->right == NULL)
		return 1;
	return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}