【数据结构第 6 章 ① 】- 图的定义和基本术语

news2024/10/6 8:21:58

一、图的定义

二、图的基本术语

图是一种比线性表和树更为复杂的数据结构。在线性表中，数据元素之间仅有线性关系，每个数据元素只有一个直接前驱和一个直接后继；在树形结构中，数据元素之间有着明显的层次关系，并且每一层的数据元素可能和下一层中的多个元素（即孩子结点）相关，但只能和上一层中一个元素（即双亲结点相关）；而在图结构中，结点之间的关系可以是任意的，图中任意两个数据元素之间都可能相关。

一、图的定义

图（Graph）G 由两个集合 V 和 E 组成，记为 G = (V, E)，其中 V 是顶点（Vertex）的有穷非空集合，顶点即图中的数据元素；E 是 V 中两个顶点之间的关系的有穷集合，两个顶点之间的关系称做边（Edge）。V(G) 和 E(G) 通常分别表示图 G 的顶点集和边集，E(G) 可以为空集，若 E(G) 为空集，则图 G 只有顶点而没有边。

对于图 G，若边集 E(G) 为有向边的集合，则称该图为有向图；若边集 E(G) 为无向边的集合，则称该图为无向图。

在有向图中，顶点 <x, y> 是有序的，它称为从顶点 x 到顶点 y 的一条有向边，因此 <x, y> 与 <y, x> 是不同的两条边。顶点对用一条尖括号括起来，x 是有向边的始点，y 是有向边的终点。<x, y> 也称作一条弧，则 x 为弧尾，y 为弧头。

在无向图中，顶点 (x, y) 是无序的，它称为与顶点 x 和顶点 y 相关联的一条边，这条边没有特定的方向，(x, y) 与 (y, x) 是同一条边。为了有别于有向图，无向图的顶点对用一对圆括号括起来。

图一分别给出了有向图和无向图的示例。

二、图的基本术语

用 n 表示图中顶点数目，用 e 表示边的数目，下面介绍图结构中的一些基本术语。

子图：假设有两个图 G = (V, E) 和 G' = (V', E')，如果 V' $\subseteq$ V 且 E' $\subseteq$ E，则称 G' 为 G 的子图。例如，图二所示为图一中 G1 和 G2 子图的一些例子。
无向完全图和有向完全图：对于无向图，若具有 $C_n^2 = \dfrac{n(n - 1)}{2}$ 条边（即图中任意两个顶点之间都存在一条边），则称为无向完全图；对于有向图，若具有 $A_n^2 = n(n - 1)$ 条弧（即图中任意两个顶点之间都存在两条方向相反的弧），则称为有向完全图。
稀疏图和稠密图：在有很少条边或弧（如 $e < nlog_2^n$ ）的图称为稀疏图，反之称为稠密图。
权和网：在实际应用中，每条边可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边上的权。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图通常称为网。
邻接点：对于无向图 G，如果图的边 (v, v') $\in$ E，则称顶点 v 和 v' 互为邻接点，即 v 和 v' 相邻接。边 (v, v') 依附于顶点 v 和 v'，或者说边 (v, v') 与顶点 v 和 v' 相关联。
度、入度和出度：顶点 v 的度是指和 v 相关联的边的数目，记为 TD(v)。例如，图一 (b) 中 G2 的顶点 v3 的度是 3。对于有向图，顶点 v 的度分为入度和出度。入度是以顶点 v 为头的弧的数目，记为 ID(v)；出度是以顶点 v 为尾的弧的数目，记为 OD(v)，顶点 v 的度为 TD(v) = ID(v) + OD(v)。例如，图一 (a) 中 G1 的顶点 v1 的入度 ID(v1) = 1，出度 OD(v1) = 2，度 TD(v1) = ID(v1) + OD(v1) = 3。

如果顶点 vi 的度为 TD(vi)，那么一个有 n 个顶点，e 条边的图（包括无向图和有向图），满足如下关系： $e = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}TD(v_i)$

如果为有向图，还满足如下关系： $e = \sum_{i}^{n}ID(v_i) = \sum_{i}^{n}OD(v_i)$
路径和路径长度：在无向图 G 中，从顶点 v 到顶点 v' 是一个顶点序列（ $v = v_{i, 0}, v_{i, 1}, ..., v_{i, m} = v'$ ），其中 $(v_{i, j-1}, v_{i, j}) \in E, 1 \le j \le m$ 。如果 G 是有向图，则路径也是有向的，顶点序列应满足 $<v_{i, j-1}, v_{i, j}> \in E, 1 \le j \le m$ 。路径长度是一条路径上经过的边或弧的数目。
简单路径、简单回路或简单环：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。
连通、连通图和连通分量：在无向图 G 中，如果从顶点 v 到顶点 v' 有路径，则称 v 和 v' 是连通的。如果对于图中任意两个顶点 $v_i,v_j \in E$ ， $v_i$ 和 $v_j$ 都是连通的，则称 G 是连通图。图一 (b) 中的 G2 就是一个连通图，而图三 (a) 中的 G3 则是非连通图，但 G3 有 3 个连通分量，如图三 (b) 所示。所谓连通分量，指的是无向图中的极大连通子图（尽可能包含更多的顶点和边的连通子图）。

对于 n 个顶点的无向图 G，若 G 是连通图，则最少有 n - 1 条边；若 G 是非连通图，则最多有条边，即只有一个顶点是孤立的，其余顶点中任意两个顶点都存在一条边。
强连通、强连通图和强连通分量：在有向图 G 中，如果从顶点 v 到顶点 v' 和从顶点 v' 到 v 之间都有路径，则称 v 和 v' 是强连通的。如果图中任意两个顶点都是强连通的，则称 G 是强连通图。有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量。例如图一 (a) 中的 G1 不是强连通图，但它有两个强连通分量，如图四所示。

对于 n 个顶点的有向图，若 G 是强连通图，则最少有 n 条弧（形成回路）。
连通图的生成树：一个极小连通子图，它包含图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的 n - 1 条边，这样的连通子图称为连通图的生成树。图五所示为 G3 中最大连通分量的一棵生成树。如果在一棵生成树上添加一条边，必定构成一个环，因为这条边使得它依附的那两个顶点之间有了第二条路径。
有向树：有一个顶点的入度为 0，其余顶点的入度均为 1 的有向图称为有向树。