58.Python的递归函数

1.递归的形象解释

我们首先看一段视频，来形象理解什么是递归。

视频作者：pipi的奇思妙想

大家可以网上搜一下该作者的视频，搜不到的可以联系我！

【目标任务】

电影院里，小玩偶想知道自己的位置在第几排。

2.定义

一个函数是可以调用另一函数的。

作为特例，如果一个函数调用了自己，那我们称这个函数为递归函数。

【示例】

f(x)=f(x+1)+x

f(x)和f(x+1)的函数名都是f，只是参数不同，一个是x，一个是x+1。

像这样自己调用自己的表达式就是一个递归函数。

3.步骤

递归通常可以分为两步：先递后回归。

视频中的小玩偶从后往前询问前一个小玩偶的坐位数，就是一个递推的过程。

小玩偶从前往后告诉后一个小玩偶的它座位数，就是一个回归的过程。

4.终止条件

递归函数必须有终止条件。

编程中，函数的调用要占用名叫栈(stack)的内存空间。

调用函数时，程序会将相关的数据存储到计算机的栈里。

当函数运行结束时数据会从栈里取出。

如果函数调用永远不停止，栈会被塞满，数据就没地方存储。

我们将这种情况称为栈溢出。

栈溢出，程序会被操作系统强行终止。

因此，递归函数必须有终止条件。

5.优点

递归函数自己调用自己，代码相对简单。

6.缺点

递归函数每调用一次都会开相应的内存空间，因此递归函数的缺点就是占用内存较多。

7.调用深度

递归调用的次数，我们称之为调用深度。

递归函数调用深度是有限制的，超出会有溢出。

8.课堂实例

我们用一个简单的例子来体验递归函数：

def f(x) :    
    return f(x-1)+x          
print(f(3))

【代码解析】

1. 定义函数f，参数是x，注意自定义函数语句以英文冒号:结尾；

2. 自定义函数要实现的功能是：返回f(x-1)+x

f(x)和f(x-1)函数名相同，只是参数不同。

因此，在自定义函数f(x)中，它自己调用了自己。

3. 最后是调用函数，调用函数的语法为函数名(参数)

这里的函数名是f，要传入的实际参数为3。

【参数传递过程】

当参数等于3的时候，函数的返回值是f(2)+3

3是确定的数值，f(2)的值无法确定，需要继续调用函数。

当参数等于2的时候，函数的返回值是f(1)+2

当参数等于1的时候，函数的返回值是f(0)+1

当参数等于0的时候，函数的返回值是f(-1)+0

我们发现，函数每次都会无条件的调用自己。

f(x)永远不会有具体的值，函数调用永远不会停止。

要解决这个问题，我们必须给函数加入一个终止条件。

我们再代码中加入一个判断语句：

如果x>0，函数就调用自己。

否则，直接返回0。

def f(x) :
    if x>0:
        return f(x-1)+x
    else:
        return 0
print(f(3))

【终端输出】

6

分析程序执行的过程：

【递推的过程】

f(3)=f(2)+3

f(2)=f(1)+2

f(1)=f(0)+1

f(0)=0

【回归的过程】

f(0)=0

f(1)=f(0)+1=0+1=1

f(2)=f(1)+2=1+2=3

f(3)=f(2)+3=3+3=6

因此，程序终端输出的结果是6。

9.计算n的阶乘

9.1什么是阶乘

一个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积。

0的阶乘为1。

自然数n的阶乘写作n!

n!=1×2×3×…×n

阶乘可以用递归方式定义：0!=1，n!=(n-1)!×n。

【示例】

1!=1

2!=1！×2=1×2=2

3!=2！×3=2×3=6

4!=3！×4=6×4=24

5!=4！×5=24×5=120

9.2计算5！

def f(n) :
    if n == 1 :
        return 1
    else:
        return n*f(n-1)
print(f(5))

【终端输出】

120

1. 定义函数f，参数是n，注意自定义函数语句以英文冒号:结尾；

2. 递归函数的终止条件：如果n=1，返回值为1

3. 自定义函数要实现的功能是n*f(n-1)

f(n)和f(n-1)函数名相同，只是参数不同。

因此，在自定义函数f(n)中，它自己调用了自己。

3. 最后是调用函数，调用函数的语法为函数名(参数)

这里的函数名是f，要传入的实际参数为5。

【参数传递过程】

当参数等于5的时候，函数的返回值是5×f(4)

当参数等于4的时候，函数的返回值是4×f(3)

当参数等于3的时候，函数的返回值是3×f(2)

当参数等于2的时候，函数的返回值是2×f(1)

当参数等于1的时候，函数的返回值是1，即f(1)=1

【程序的执行过程】

【递推的过程】

f(5)=5×f(4)

f(4)=4×f(3)

f(3)=3×f(2)

f(2)=2×f(1)

f(1)=1

【回归过程】

f(1)=1

f(2)=2×f(1)=2×1=2

f(3)=3×f(2)=3×2=6

f(4)=4×f(3)=4×6=24

f(5)=5×f(4)=5×24=120

【总结】

很多同学会觉得写代码比计算更复杂，耗费时间更多。

那是因为我们要计算的阶乘数比较简单。

那如果我们要计算的是40！，大家观察下面的代码的输出结果，看看是否还能自己计算呢？

def f(n) :
    if n == 1 :
        return 1
    else:
        return n*f(n-1)
print(f(40))

【终端输出】

815915283247897734345611269596115894272000000000