LeetCode刷题---斐波那契数列模型

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键盘敲烂，年薪百万！

一、第N个泰波那契数

题目链接：1137. 第 N 个泰波那契数

题目描述

泰波那契序列Tn定义如下:

T0=0,T1=1,T2= 1,且在n>=0的条件下Tn+3= Tn+Tn+1t+Tn+2

给你整数n，请返回第n个泰波那契数Tn的值。

示例1:

输入:n=4

输出:4

解释:

T_3=0+1+1=2

T_4=1+1+2=4

示例2:

输入:n= 25

输出:1389537

解法

1.状态表示:

这道题可以「根据题目的要求」直接定义出状态表示:

dp[i]表示:第i个泰波那契数的值。

2.状态转移方程:

题目已经非常贴心的告诉我们了∶

dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]

3.初始化:

从我们的递推公式可以看出，dp[i]在i = 0以及i = 1的时候是没有办法进行推导的，因为dp[-2]或dp[-1]不是一个有效的数据

因此我们需要在填表之前，将0，1，2位置的值初始化

题目中已经告诉我们dp[0] = 0，dp[1] = dp[2] = 1

4.填表顺序:

毫无疑问是「从左往右」

5.返回值:

返回dp[n]的值

代码实现

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) 
    {
        if(n == 0) return 0;
        if(n ==1 || n == 2) return 1;

        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 0,dp[1] = dp[2] = 1;
        for(int i = 3;i <= n; i++)
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3];
        return dp[n];
    }
};

优化解法

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) 
    {
        if(n == 0) return 0;
        if(n ==1 || n == 2) return 1;

        int a = 0, b = 1, c = 1, d = 0;
        for(int i = 3;i <= n; i++)
            {
                d = a + b + c;
                a = b;
                b = c;
                c = d;
            }
        return d;
    }
};

二、三步问题

题目链接：面试题 08.01. 三步问题

题目描述

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有r阶台阶一小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007.

示例1:

输入:n=3

输出:4

说明:有四种走法

示例2:

输入:n=5

输出:13

提示:

n范围在[1,1000000]之间

解法

1.状态表示

这道题可以根据「经验＋题目要求」直接定义出状态表示:dp[i]表示:到达i位置时，一共有多少种方法。

2.状态转移方程

以i位置状态的最近的一步，来分情况讨论:

如果dp[i]表示小孩上第1阶楼梯的所有方式，那么它应该等于所有上关步的方式之和:

i. 上一步上一级台阶，dp[i] += dp[i - 1]

ii.上一步上两级台阶，dp[i] += dp[i - 2]

iii.上一步上三级台阶，dp[i] += dp[i - 3]

综上所述，dp[i] = dp[i - 1]+ dp[i - 2] +dp[i]

需要注意的是，这道题目说，由于结果可能很大，需要对结果取模。

在计算的时候，三个值全部加起来再取模，即(dp[i l+ dp[i - 2] + dp[i - 3])% MOD是不可取的，大家可以试验一下，取题目范围内最大值时，网站会报错signedinteger overflow。对于这类需要取模的问题，我们每计算一次(两个数相加/乘等)，都需要取一次模。否则，万一发生了溢出，我们的答案就错了。

3.初始化

从我们的递推公式可以看出，dp[i]在i = 0， i = 1以及i = 2的时候是没有办法进行推导的，因为dpL3]dp[-2]或dp[-1]不是一个有效的数据

因此我们需要在填表之前，将1，2，3位置的值初始化

根据题意，dp[1= 1, dp[2] = 2，dp[3] = 4

4.填表顺序

毫无疑问是「从左往右」

5. 返回值

返回dp[n]的值

代码实现

class Solution {
public:
    int waysToStep(int n) 
    {
        const int MOD = 1e9 + 7;
        if(n == 1 || n == 2) 
            return n;
        if(n == 3) 
            return 4;
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 4;
        for(int i = 4;i <= n; i++)
            dp[i] = ((dp[i-1] + dp[i-2]) % MOD + dp[i-3]) % MOD;
        return dp[n];
    }
};

优化解法

class Solution {
public:
    int waysToStep(int n) 
    {
        const int MOD = 1e9 + 7;
        if(n == 1 || n == 2) 
            return n;
        if(n == 3) 
            return 4;
        int a = 1, b = 2, c = 4, d = 0;
        for(int i = 4;i <= n; i++)
        {   
            d = ((a + b) % MOD + c) % MOD;
            a = b;
            b = c;
            c = d;
        }
        return d;
    }
};

三、使用最小花费爬楼梯

题目链接： 746. 使用最小花费爬楼梯

题目描述

给你一个整数数组cost，其中 cost[i]是从楼梯第i个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为0或下标为1的台阶开始爬楼梯。请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例1:

输入: cost = [10,15,20]

输出:15

解释:

你将从下标为1的台阶开始

支付15，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部，总花费为15

示例2:

输入: cost =[1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]

输出:6

解释:

你将从下标为0的台阶开始。

支付1，向上爬两个台阶，到达下标为2的台阶。

支付1，向上爬两个台阶，到达下标为4的合阶。

支付1，向上爬两个台阶，到达下标为的合阶。

支付1，向上爬一个台阶，到达下标为7的台阶。

支付1，向上爬两个台阶，到达下标为9的台阶。

支付1，向上爬一个合阶，到达楼梯顶部。

总花费为6。

注意注意:

在这道题中，数组内的每一个下标[o，n - 1]表示的都是楼层，而顶楼的位置其实是在n的位置!

解法

1.状态表示:

这道题可以根据「经验＋题目要求」直接定义出状态表示:

以1位置为结尾，巴拉巴拉

dp[i]表示:到达1位置时的最小花费。(注意:到达i位置的时候，i位置的钱不需要算上)

2.状态转移方程:

根据最近的一步，分情况讨论:

先到达i - 1的位置，然后支付cost[i - 1]

接下来走一步走到i位置:dp[i - 1]+ csot[i - 1] ;

先到达i -2的位置，然后支付cost[i - 2]

接下来走一步走到i位置:dp[i - 2]+ csot[i - 2]。

3.初始化:

从我们的递推公式可以看出，我们需要先初始化i = 0，以及 i 1位置的值。容易得到dp[0] = dp[1] = 0，因为不需要任何花费，就可以直接站在第层和第层上。

4.填表顺序:

根据「状态转移方程」可得，遍历的顺序是「从左往右」。

5.返回值:

根据「状态表示以及题目要求」，需要返回dp[n]位置的值。

代码实现

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) 
    {
        int n = cost.size();
        vector<int> dp(n + 1);
        for(int i = 2; i <= n; i++)
            dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2]);
        return dp[n];
    }
};

四、解码方法

题目链接：91. 解码方法

题目描述

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了编码：

        'A' -> "1"
        'B' -> "2"
        ...
        'Z' -> "26"

要解码已编码的消息，所有数字必须基于上述映射的方法，反向映射回字母（可能有多种方法）。例如，"11106" 可以映射为：

"AAJF" ，将消息分组为 (1 1 10 6)
"KJF" ，将消息分组为 (11 10 6)

注意，消息不能分组为 (1 11 06) ，因为 "06" 不能映射为 "F" ，这是由于 "6" 和 "06" 在映射中并不等价。

给你一个只含数字的非空字符串 s ，请计算并返回解码方法的总数。

题目数据保证答案肯定是一个 32 位的整数。

示例 1：

输入：s = "12"
输出：2
解释：它可以解码为"AB"（1 2）或者 "L"（12）。

示例 2：

输入：s = "226"
输出：3
解释：它可以解码为"BZ"(2 26),"VF"(22 6), 或者"BBF"(2 2 6) 。

示例 3：

输入：s = "06"
输出：0
解释："06" 无法映射到"F"，因为存在前导零（"6" 和 "06" 并不等价）。

提示：

1 <= s.length <= 100
s 只包含数字，并且可能包含前导零。

解法

类似于斐波那契数列~

1.状态表示:

根据以往的经验，对于大多数线性dp，我们经验上都是下以某个位置结束或者开始做文章，这里我们继续尝试「用i位置为结尾」结合「题目要求」来定义状态表示。

dp[i]表示:字符串中[0，i]区间上，共有多少种编码方法。

2.状态转移方程:

定义好状态表示，我们就可以分析i位置的dp值，如何由「前面」或者「后面」的信息推导出
来。关于i位置的编码状况，我们可以分为下面两种情况:

i. 让i位置上的数单独解码成一个字母;

ii.让i位置上的数与i - 1位置上的数结合，解码成一个字母。

下面我们就上面的两种解码情况，继续分析:

让i位置上的数单独解码成一个字母，就存在「解码成功」和「解码失败」两种情况:

i.解码成功:当i位置上的数在[1，9]之间的时候，说明1位置上的数是可以单独解码的，那么此时[0，i]区间上的解码方法应该等于[0， i - 1]区间上的解码方法。因为[0，i - 1]区间上的所有解码结果，后面填上一个 i位置解码后的字母就可以了。此时dp[i] = dp[i - 1] ;

ii.解码失败:当i位置上的数是 0的时候，说明1位置上的数是不能单独解码的，那么此时[0，i]区间上不存在解码方法。因为1位置如果单独参与解码，但是解码失败了，那么前面做的努力就全部白费了。此时dp[i] = 0。

让1位置上的数与i – 1位置上的数结合在一起，解码成一个字母，也存在「解码成功」和「解码失败」两种情况:

i.解码成功:当结合的数在[10，26]之间的时候，说明([i - 1，i]两个位置是可以解码成功的，那么此时[0，i]区间上的解码方法应该等于[0，i - 2]区间上的解码方法，原因同上。此时的dp[i] = dp[i - 2] ;
ii.解码失败:当结合的数在[0，9]和[27 , 99]之间的时候，说明两个位置结合后解码失败(这里一定要注意00 01 02 03 04......这几种情况)，那么此时[0，i]区间上的解码方法就不存在了，原因依旧同上。此时dp[i] = 0。

综上所述: dp[i]最终的结果应该是上面四种情况下，解码成功的两种的累加和(因为我们关心的是解码方法，既然解码失败，就不用加入到最终结果中去)，因此可以得到状态转移方程

( dp[i]默认初始化为0)

i. 当s[i]上的数在[1，9]区间上时: dp[il t= dp[i - 1]

ii.当 s[i - 1]与s[i]上的数结合后，在[10，26之间的时候:dp[i] +=dp[i - 2] ;

如果上述两个判断都不成立，说明没有解码方法，dp[i]就是默认值0。

3.初始化:

方法一(直接初始化)∶

由于可能要用到i - 1以及个位置上的dp值，因此要先初始化「前两个位置」。初始化 dp[o]:

i. 当s[0] == '0'时，没有编码方法，结果dp[0] = 0 ;

ii.当s[0] != '0'时，能编码成功，dp[0] = 1

初始化 dp[1j:

i. 当s[1在[1，9]之间时，能单独编码，此时dp[1] += dp[0](原因同上，dp[1]默认为0)

ii.当 s[0]与s[1]结合后的数在([10，26]之间时，说明在前两个字符中，又有一种编码方式，此时dp[1] += 1

方法二(添加辅助位置初始化)∶

可以在最前面加上一个辅助结点，帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点:

i.辅助结点里面的值要保证后续填表是正确的;

ii.下标的映射关系

4.填表顺序:

毫无疑问是「从左往右」

5.返回值:

应该返回dp[n - 1]的值，表示在[o，n - 1]区间上的编码方法

代码实现---方法一

class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) 
    {
        int n = s.size();
        vector<int> dp(n);
        dp[0] = s[0] != '0';

        if(n == 1) 
            return dp[0];

        if(s[0] != '0' && s[1] != '0') 
            dp[1] += 1;
        int t = (s[0] - '0') * 10 + s[1] - '0';
        if(t >= 10 && t <= 26) 
            dp[1] += 1;

        for(int i = 2; i <n; i++)
        {
            if(s[i] != '0') 
                dp[i] += dp[i-1];
            int t = (s[i-1] - '0') * 10 + s[i] - '0';
            if(t >= 10 && t <= 26) 
                dp[i] += dp[i-2];
        }
        return dp[n-1];
    }
};

代码实现---方法二

class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) 
    {
        int n = s.size();
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = s[1 - 1] != '0';


        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            if(s[i-1] != '0') 
                dp[i] += dp[i-1];
            int t = (s[i-2] - '0') * 10 + s[i-1] - '0';
            if(t >= 10 && t <= 26) 
                dp[i] += dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

结语：今日的刷题分享到这里就结束了，希望本篇文章的分享会对大家的学习带来些许帮助，如果大家有什么问题，欢迎大家在评论区留言~~~