直线

题目描述

本题为填空题，只需要算出结果后，在代码中使用输出语句将所填结果输出即可。
在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。如果有多点在一条直线上， 那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。

给定平面上 2 × 3 个整点(x,y)∣0≤x<2,0≤y<3,x∈Z,y∈Z​，即横坐标 是 0到1 (包含 0 和 1) 之间的整数、纵坐标是 0 到 2 (包含 0 和 2) 之间的整数 的点。这些点一共确定了 11 条不同的直线。

给定平面上 20×21 个整点 (x,y)∣0≤x<20,0≤y<21,x∈Z,y∈Z，即横 坐标是 0 到 19 (包含 0 和 19) 之间的整数、纵坐标是 0 到 20 (包含 0 和 20​) 之 间的整数的点。

请问这些点一共确定了多少条不同的直线。

解题思路

本题用点斜式：y=kx+b来表示直线。那么枚举所有点对构成的直线，判断k，b直线是新的，还是之前已经枚举过的，采用pair<double,double>存下k和b，如何判断当前直线是否为初次遇到的新直线呢？可用map判断是否是新的直线。对一条新的直线，映射(mao)成1，并统计累加，让ans++，下一次再找到这条直线，那么该直线的map值已经为1了，就不重复统计。分析题述中给定平面上2×3个整点，所确定的11条直线如下图：3条横向，2条竖线和6条斜线。

不妨首先把横线和竖线的条数统计到linenum直线总数中。根据题意，横坐标是0到19（包含0和19）之间的整数，那么竖线有20条，即col=20；纵坐标是0到20，那么有21条横线，即row=21。横线和竖线条数加起来先计入linenum，初值linunum=row+col。
然后来求斜线，由于任意两点可以确定一条直线。那么枚举所有的点，嵌套的两重循环i和j，都去枚举所有的点，点i和点j就能确定一条直线，现在来判断（i，j）构造出来的直线line(k,b)是否之前已经计入过linenum中。
如果是初次遇见的新直线line，那么就map其为1，并且计入linenum，即linenum++；否则表示之前已经出现过此直线line(k,b)，就无需统计。一对（k，b）就能表示出一条直线。在枚举所有点之前，需要先保存所有点，存入数组p中。已知i、j两点，如何计算（k，b）？
用如下公式即可：
k=(p[j].y-p[i].y)/(p[j].x-p[i].x);
b=(p[j].xp[i].y-p[j].yp[i].x)/p[i].x-p[i].x);

最终答案：40257

C++代码

#include<iostream>
#include<map> 
#include<utility>
using namespace std;

struct point{
	double x,y;
}p[25*25];

map<pair<double,double>,int>line;//pair存斜率 k 和截距 b 
//map是STL的一个关联容器，他提供一对一的数据处理能力,使 点 与 直线 成 一对一对应关系
//用 （x，y） 这个点作为索引，并拥有相关联的指向 line（int）的指针 
//pair是将2个数据组合成一组数据 。 x，y 这两个数据组合成一个点 （x，y）以及 将 k，b这两个数据合成一组数据 

int main()
{
	//struct point p[25*25];
	int cnt=0;
	int col=20,row=21;
	int i,j;
	for(i=0;i<col;i++)
	{
		for(j=0;j<row;j++)
		{
			p[cnt].x=i;
			p[cnt++].y=j;
		}
	}
	int linenum=col+row;//先确定横线和竖线的数量 
	for(i=0;i<cnt;i++)
	{
		for(j=0;j<cnt;j++)
		{
			if(p[i].x==p[j].x||p[i].y==p[j].y)//跳过横线和竖线 
				continue;
			//k=(y2-y1)/(x2-x1)
			//b=(x1y2-x2y1)/(x1-x2)
			double k=(p[j].y-p[i].y)/(p[j].x-p[i].x);
			double b=(p[i].x*p[j].y-p[j].x*p[i].y)/(p[i].x-p[j].x);
			if(line[{k,b}]==0)
			{
				line[{k,b}]=1;
				linenum++;
			}
		} 
	}
	cout<<linenum<<endl;
	return 0;
}