数据结构和算法-树和二叉树的定义和基本术语和性质

news2024/11/25 11:02:47

文章目录

  • 树的基本概念和相关术语
    • 相关的应用
    • 节点间的关系描述
    • 节点，树的属性描述
    • 有序树vs无序树
    • 树vs森林
    • 小结
  • 树的相关性质
    • 考点1
    • 考点2
    • 考点3
    • 考点4
    • 考点5
    • 考点6
    • 小结
  • 二叉树的相关概念和基本术语
    • 重要 （五种状态）
    • 特殊二叉树
    • 小结
  • 二叉树的相关性质
    • 二叉树考点1
    • 二叉树考点2
    • 二叉树考点3
    • 完全二叉树考点1
    • 小结

树的基本概念和相关术语

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当存在非根节点有两个前驱或者没有前驱时，都不构成树

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任何非空树可以看作根节点和不相交的子树构成（子树可为空树）

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相关的应用

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节点间的关系描述

  • 祖先节点：节点以上的节点都是祖先节点
  • 子孙节点：节点一下的节点都是子孙节点
  • 双亲节点（父节点）：节点的上一个节点是双亲节点
  • 兄弟节点：双亲节点相同的子孙节点
  • 堂兄弟节点：emmm有点不好说，就是同一层的节点但不包括兄弟节点，如图中的 你 G H I J

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节点的深度（层次）可以从零开始，也可以从一开始，默认是一（高度也一样）
高度和深度相反，从字面意思应该就能理解

节点，树的属性描述

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有序树vs无序树

有序无序看存啥吧，看你想用左右位置反映啥关系不
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树vs森林

树的节点可以为0，即空树，森林也可以由0棵树构成，即空森林
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小结

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树的相关性质

树的节点数=树的所有节点的度数+1
可以这么理解
某层节点的度数和相当于下一层节点的节点数，如下图
有四层时，一二三四层的度数和相当于二三四层的节点数和（四层的度数和为零），但树的节点数还包括根节点，而一二三四层的度数和没有包括第一层的节点数，而第一层节点数为1。
所以树的节点数=树的所有节点的度数+1

考点1

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考点2

m叉树可以为空树
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考点3

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考点4

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考点5

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这里是先设高度最小为h则可以列出此时对应的节点数应该是大于前h-1层最多的节点数的，不然不可能还会有第h层嘛，然后此时n不可能比h层最多的节点数还多嘛，不然就有h+1层了，可以列出不等式，化简。

最后的话因为h是整数，h又必须大于图中的那个log啥的，h又要求最小，所以那个log啥的得向上取整就是h的最小值

考点6

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小结

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二叉树的相关概念和基本术语

二叉树有序且每个节点至多两课子树（可为空子树）
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重要 （五种状态）

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特殊二叉树

完全二叉树：节点与对应的满二叉树节点一一对应
完全二叉树最多只有一个度为1的节点，如果有两个，则意味这两个度为1的节点的孩子之间相隔了一个节点，那么将不满足节点与对应的满二叉树节点一一对应的条件
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如果完全二叉树某节点只有一个孩子，那么一定是左孩子

二叉排序树即左孩子上存储的值小于父节点上存储的值小于右孩子上存储的值
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当二叉排序树是平衡二叉树时，那么搜索的深度更小，效率更高。因为比较次数少了

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小结

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二叉树的相关性质

总度数=度为1的结点数1+度为2的结点数2

二叉树考点1

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二叉树考点2

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二叉树考点3

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完全二叉树考点1

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小结

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