动态规划：有很多重叠子问题，每一个状态一定是由上一个状态推导出来的
贪心：没有状态推导，而是从局部直接选最优的
动规五步曲：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式（容斥原理）
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组（用于检验）
一：递推问题
1.1. 如何求解递推问题
正向递推：（递推：一个算法 递归：程序实现的方式，不是算法）
正向递推（慢）：n-------》1-------》递归
逆向递推（快）：1-------》n-------》循环
解决效率过差：
1. 递归过程+记忆化
2. 改成逆向递推求解
动规五步曲：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[n]：第n个月的兔子总数是dp[n]
确定递推公式（容斥原理）
容斥原理 ：dp[n]全集包括：成年兔 + 幼年兔
dp[n] = dp[n - 1] + dp[n - 2];
dp数组如何初始化
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
确定遍历顺序
从前往后
举例推导dp数组（用于检验）
代码实现：
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> //正向递推：递归过程+记忆化（提高运行效率） #define MAX_N 100 int arr[MAX_N + 1] = {0}; int func1(int n) { if (n <= 2) { return n; } if (arr[n]) { return arr[n]; } arr[n] = func1(n - 1) + func1(n - 2); return arr[n]; } //逆向递推 int func2(int n) { int *dp = malloc(sizeof(int) * (n + 1)); dp[1] = 1; dp[2] = 2; for (int i = 3; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; } int ret = dp[n]; free(dp); return ret; } int main(int argc, char *argv[]) { int n; scanf("%d", &n); printf("%d\n", func1(n)); printf("%d\n", func2(n)); return 0; }
1.2. 容斥原理的基本思想
动规五步曲：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：用前 i 种钱币，凑足 j 元钱的方法总数
确定递推公式（容斥原理）
容斥原理：dp[i][j]全集包括：没有使用第i种钱币 + 使用第i种钱币
没有使用第i种钱币：dp[i - 1][j]
使用第i种钱币：dp[i][j - value[i]]
第一部分：给第i种钱币先留出一个空，用前i种钱币凑够(j - value[i])钱
第二部分：最后一个空用第i种钱币
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - value[i]];
dp数组如何初始化
1）
//初始化 for (int i = 1; i <= m; i++) { dp[i][0] = 1; } for (int j = 1; j <= n; j++) { if (w[1] <= j && (j % w[1] == 0)) { dp[1][j] = 1; } else { dp[1][j] = 0; } }2）
//初始化 memset(dp[0], 0, sizeof(int) * n); //将第0行初始化为0 for (int i = 1; i <= m; i++) { dp[i][0] = 1; //初始化第i行第0列为1 }
确定遍历顺序
从前往后
举例推导dp数组（用于检验）
代码实现:
//1)动态规划 #include <stdio.h> #define MAX_N 10000 #define MAX_M 20 int w[MAX_M + 1]; int dp[MAX_M + 1][MAX_N + 1]; int main(int argc, char *argv[]) { int m, n; //m种面额的钱币凑足n元钱 scanf("%d%d", &m, &n); for (int i = 1; i <= m; i++) { scanf("%d", w + i); } //初始化 for (int i = 1; i <= m; i++) { dp[i][0] = 1; } for (int j = 1; j <= n; j++) { if (w[1] <= j && (j % w[1] == 0)) { dp[1][j] = 1; } else { dp[1][j] = 0; } } for (int i = 2; i <= m; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { dp[i][j] = dp[i - 1][j]; if (j < w[i]) { continue; } dp[i][j] += dp[i][j - w[i]]; dp[i][j] %= 9973; } } printf("%d\n", dp[m][n]); return 0; } //2)动态规划 #include <stdio.h> #include <string.h> #define MAX_N 10000 #define MAX_M 20 int w[MAX_M + 5]; int dp[MAX_M + 5][MAX_N + 5]; int main(int argc, char *argv[]) { int m, n; //m种面额的钱币凑足n元钱 scanf("%d%d", &m, &n); for (int i = 1; i <= m; i++) { scanf("%d", w + i); } memset(dp[0], 0, sizeof(int) * n); //将第0行初始化为0 for (int i = 1; i <= m; i++) { dp[i][0] = 1; //初始化第i行第0列为1 for (int j = 1; j <= n; j++) { dp[i][j] = dp[i - 1][j]; if (j < w[i]) { continue; } dp[i][j] += dp[i][j - w[i]]; dp[i][j] %= 9973; } } printf("%d\n", dp[m][n]); return 0; } //3)回溯
1.3. 随堂练习1：爬楼梯
动规五步曲：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[n]：走到第n阶台阶的方法总数
确定递推公式（容斥原理）
容斥原理：dp[n]全集包括：最后跨2步到达第n阶台阶 + 最后跨3步到达第n阶台阶
dp[n] = dp[n - 2] + dp[n - 3];
dp数组如何初始化
dp[1] = 0;
dp[2] = 1;
确定遍历顺序
从前往后
举例推导dp数组（用于检验）
代码实现：
#include <stdio.h> #define MAX_N 500 int dp[MAX_N + 1]; int func(int n) { dp[0] = 1; dp[1] = 0; dp[2] = 1; for (int i = 3; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i - 2] + dp[i - 3]; } return dp[n]; } int main(int argc, char *argv[]) { int n; scanf("%d", &n); printf("%d\n", func(n)); return 0; }
💖1.4. 随堂练习1：墙壁涂色
动规五步曲：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[n][i][j]代表前n块墙壁，在不考虑头尾成环的前提下，第1块涂颜色i，第n块涂颜色j的方法总数
此时 i 可以等于 j ,最后统计答案时去除相等的情况
确定递推公式（容斥原理）
容斥原理：dp[n][i][j]全集包括：第1块涂颜色i，第n-1块涂颜色k(k != j)，第n块涂颜色j
dp[n][i][j] = dp[n-1][i][k]（k != j）的累加
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
从前往后
举例推导dp数组（用于检验）
二：递推-课后实战题
2.1. 数的划分
动规五步曲：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：将数字 i 分成 j 份的方法总数
确定递推公式（容斥原理）
容斥原理：dp[i][j]全集包括：拆分方案中有1 + 拆分方案中没有1
拆分方案中有1：留下最后一个位置放1，dp[i - 1][j - 1]
拆分方案中没有1：将所有方案中的 j 个数都减1，得到另外一个数（i - j）分成 j 份的结果，将i - j的所有方案列出来，每个数都加上1，就是拆分方 案中没有1的结果，所以拆分方案中没有1的方法总数 == 将数字 i - j分成 j 份的方法总数 ，即dp[i - j][j]
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - j][j];
dp数组如何初始化
int dp[MAX_N + 1][MAX_K + 1] = {0}; for (int i = 1; i <= n; i++) { dp[i][1] = 1; }
确定遍历顺序
从前往后
举例推导dp数组（用于检验）
代码实现：
//动态规划 #include <stdio.h> #define MAX_N 200 #define MAX_K 6 #define min(a, b) ((a) > (b) ? (b) : (a)) int dp[MAX_N + 1][MAX_K + 1] = {0}; int main(int argc, char *argv[]) { int n, k; scanf("%d%d", &n, &k); dp[0][0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { dp[i][1] = 1; for (int j = 2; j <= min(i, k); j++) { dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - j][j]; } } printf("%d\n", dp[n][k]); return 0; } //回溯
2.2. 数的计算
动规五步曲：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：以i作为开头的合法的数列个数
确定递推公式（容斥原理）
容斥原理：dp[i]全集包括：
以i作为结尾（不扩展）+ i后面接i/2 + i后面接i/2-1 ...... + i后面接1
1 dp[i/2] dp[i/2-1] dp[1]
dp[i] = dp[j]的累加（j <= i/2）+ 1
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
从前往后
举例推导dp数组（用于检验）
代码实现：
#include <stdio.h> #define MAX_N 1000 int dp[MAX_N + 1] = {0}; int main(int argc, char *argv[]) { int n; scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; i++) { dp[i] = 1; for (int j = 1; j <= i / 2; j++) { dp[i] += dp[j]; } } printf("%d\n", dp[n]); return 0; }
2.3. 神经网络
2.4. 栈
题目描述：1 <= n <=18 的合法出栈序列一共有多少种
动规五步曲：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[n]：1—n的合法出栈序列方案数
确定递推公式（容斥原理）
容斥原理：dp[n]全集包括：出栈序列末尾是1的方案数 + 出栈序列末尾是2的方案数 + 出栈序列末尾是3的方案数 + ...... + 出栈序列末尾是n的方案数
小于x的数不断入栈出栈---》x入栈---》大于x的数不断入栈出栈---》x出栈
第一部分：小于x的数 第二部分：大于x的数 第三部分：x
所以出栈序列末尾是x的方案数 = dp[x - 1] * dp[n - x]
dp[n] = dp[x - 1] * dp[n - x]的累加（x == 1; x <= n; x++）
dp数组如何初始化
int dp[MAX_N + 1] = {0};
dp[0] = 1;
确定遍历顺序
从前往后
举例推导dp数组（用于检验）
代码实现：
#include <stdio.h> #define MAX_N 18 int dp[MAX_N + 1] = {0}; int main(int argc, char *argv[]) { int n; scanf("%d", &n); dp[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= i; j++) { dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; } } printf("%d\n", dp[n]); return 0; }
2.5. 循环
2.6. 传球游戏
动规五步曲：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[j][i]：传了j轮球，球在第i个人手里的方法总数
确定递推公式（容斥原理）
容斥原理：dp[j][i]全集包括：
倒数第二轮时球在第i-1个人手里 + 倒数第二轮时球在第 i+1个人手里
dp[j - 1][i - 1] dp[j - 1][i + 1]
dp[j][i] = dp[j - 1][i - 1] + dp[j - 1][i + 1]
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
从前往后
举例推导dp数组（用于检验）
代码实现：
#include <stdio.h> #define MAX_N 30 #define MAX_M 30 int dp[MAX_N + 1][MAX_N + 1] = {0}; int main(int argc, char *argv[]) { int n, m; scanf("%d%d", &n, &m); dp[0][1] = 1; for (int j = 1; j <= m; j++) { for (int i = 2; i <= n - 1; i++) { dp[j][i] = dp[j - 1][i + 1] + dp[j - 1][i - 1]; } //单独处理边界 dp[j][1] = dp[j - 1][2] + dp[j - 1][n]; dp[j][n] = dp[j - 1][1] + dp[j - 1][n - 1]; } printf("%d\n", dp[m][1]); return 0; }
2.7. Hanoi 双塔问题
动规五步曲：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式（容斥原理）
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组（用于检验）
三：动态规划
3.1. 全面剖析：数字三角形问题
1. 斐波那契数
动规五部曲：
1. 确定dp数组以及下标的含义
一维dp数组保存递归的结果
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
2. 确定递推公式
状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
3. dp数组如何初始化
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;4. 确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
5. 举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当n为10的时候，dp数组应该是如下的数列： 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
代码实现：
//1) 动归第一种解法 时间复杂度：O(n) 空间复杂度：O(n) int fib(int n) { if (n <= 1) { return n; } int *dp = malloc(sizeof(int) * (n + 1)); dp[0] = 0; dp[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; } int ret = dp[n]; //防止内存泄漏 free(dp); return ret; } //2) 动规第二种解法 时间复杂度：O(n) 空间复杂度：O(1) int fib(int n) { if (n <= 1) { return n; } int dp[2]; dp[0] = 0; dp[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) { int sum = dp[0] + dp[1]; dp[0] = dp[1]; dp[1] = sum; } return dp[1]; } //3) 递归+记忆化解法 #define MAX_N 30 int arr[MAX_N + 1] = {0}; //优化：记忆化(防止大量重复运算，加快运行效率) int fib(int n) { if (n <= 1) { return n; } if (arr[n]) { return arr[n]; } arr[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2); return arr[n]; }
2. 爬楼梯
动规五步曲：
1. 确定dp数组以及下标的含义
一维dp数组保存递归的结果
dp[i]：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
2. 确定递推公式
从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来
首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶就是dp[i]了
还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶就是dp[i]了
那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
3. dp数组如何初始化
dp[1] = 1
dp[2] = 2
4. 确定遍历顺序
从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的
5. 举例推导dp数组
举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是这样的
代码实现：
//动规 int climbStairs(int n) { if (n <= 2) { return n; } int dp[3]; dp[1] = 1; //上一层台阶 dp[2] = 2; //上两层台阶 for (int i = 3; i <= n; i++) { int sum = dp[1] + dp[2]; dp[1] = dp[2]; dp[2] = sum; } return dp[2]; } //递归 #include <stdio.h> #define MAX_N 45 int arr[MAX_N + 1] = {0}; //记忆化优化 int climbStairs(int n) { if (n <= 2) { return n; } if (arr[n]) return arr[n]; arr[n] = climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2); return arr[n]; }
3. 使用最小花费爬楼梯
动规五步曲：
1. 确定dp数组以及下标的含义
使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了
dp[i]的定义：第i个台阶所花费的最少体力为dp[i]
2. 确定递推公式
可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]
那么究竟是选dp[i-1]还是dp[i-2]呢？
一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
3. dp数组如何初始化
dp[0] = cost[0];
dp[1] = cost[1];4. 确定遍历顺序
因为是模拟台阶，而且dp[i]又dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了
5. 举例推导dp数组
拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：
代码实现：
#define min(a, b) ((a) > (b) ? (b) : (a)) int minCostClimbingStairs(int* cost, int costSize) { int *dp = malloc(sizeof(int) * (costSize + 1)); dp[0] = dp[1] = 0; for (int i = 2; i <= costSize; i++) { dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]); } return dp[costSize]; }
4. 不同路径
动规五步曲：
1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径
2. 确定递推公式
想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]
此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理
那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来
3. dp数组的初始化
p[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。
for (int i = 0; i < m; i++) { dp[i][0] = 1; } for (int j = 0; j < n; j++) { dp[0][j] = 1; }4. 确定遍历顺序
递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。
5. 举例推导dp数组
代码实现：
int uniquePaths(int m, int n) { //动态创建一个二维路径答案表 int **dp = (int **)malloc(sizeof(int *) * m); for (int i = 0; i < m; i++) { dp[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * n); } //最左一行 for (int i = 0; i < m; i++) { dp[i][0] = 1; } //最上一行 for (int j = 0; j < n; j++) { dp[0][j] = 1; } for (int i = 1; i < m; i++) { for (int j = 1; j < n; j++) { dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]; } } return dp[m - 1][n - 1]; }
5. 不同路径 II
动规五步曲：
1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径
2. 确定递推公式
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）
//当(i, j)没有障碍的时候，再推导dp[i][j] if (obstacleGrid[i][j] == 0) { dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]; }3. dp数组如何初始化
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) { dp[i][0] = 1; } for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) { dp[0][j] = 1; }4. 确定遍历顺序
从左到右一层一层遍历
5. 举例推导dp数组
拿示例1来举例如题：
对应的dp table 如图：
代码实现：
6. 整数拆分
动规五步曲：
