一、基础知识

1.异或运算xor

异或，顾名思义，只有当两个数不同时结果才为1
如0xor0=0,0xor1=1,1xor0=1,1xor1=0

2.模2算术

模2算术的规则为：加法不进位，减法不借位

（1）模2加法和减法

加减相对来说比较容易，加法不进位，减法不借位，相当于异或运算

0＋0＝0   0＋1＝1  1＋0＝1   1＋1＝0

0－0＝0   0－1＝1   1－0＝1   1－1＝0

（2）模2乘法

模2乘法表面上与十进制乘法相似，0与任何数相乘都等于0，如下。

0×0＝0   0×1＝0   1×0＝0   1×1＝1

模2乘法与寻常乘法不同之处在于在进行列竖式计算过程中，加法为模2加法，即不进位，或者说是异或运算。
例：

      	1 0 1 1
×  	 	  1 0 1
———————————————————			
        1 0 1 1
      0 0 0 0
+   1 0 1 1
———————————————————		
    1 0 0 1 1 1

（3）模2除法

被除数位数足够，即位数 ≥ 除数位数，则商对应写1，不够则商对应写0。

具体例子可以参照CRC求R过程

二、CRC循环冗余检测

1.背景

数据在传输过程中可能会有比特损失和替换，所以接收方要检测收到的数据是否无差错。

2.原理

假设发送方要发送d比特的数据D。
为了差错检验，发送方要在d比特数据的右边加上r比特的数据R，形成d+r比特的数据D+R。
发送方和接收方协商一个生成多项式G（r+1比特），当d+r比特用模2算术（可视作异或）恰好能被G整除时（即余数为0），则数据正确，否则出现了差错。

3.求R

问题：已知要发送的数据D和生成多项式G，如何求R?

原理：由原理可知 $D\cdot 2^r$ XOR R=nG
所以$D\cdot 2^r$ =nG XOR R
即 R 为 G除以$D\cdot 2^r$的余数

例：
若已知D为101110，G为1001，则由于G有4为，对应到多项式最高次数为3，即r=3，所以应在D后面补3个0。具体计算如下图。

参考资料：
[1] https://blog.csdn.net/m0_51487301/article/details/124270017
[2]《计算机网络自顶向下方法》