对GNN的评估

GNN 通用表达式

聚合：

a v ( k ) = A G G R E A G T E ( k ) ( { h u ( k − 1 ) : u ∈ N ( v ) } ) a_v^{(k)}=AGGREAGTE^{(k)}(\{ h_u^{(k-1)} : u \in \mathcal{N}(v) \}) av(k)​=AGGREAGTE(k)({hu(k−1)​:u∈N(v)})

更新：

$$h_v^{(k)}=COMBIN{E}^{(k)}(h_v^{(k-1)},a_v^{(k)})$$

GNN 的主要任务

节点分类任务：相同邻域有相同表征，不同的邻域有不同的表征

图分类任务：同构图有相同的表征，非同构图有不同的表征

定义1 multiset的广义定义：允许其元素有多个实例的集合。

multiset是一个二元组 $X=(S,m)$

• S 是由不同元素形成的X的基础集合
• $m:S\to N_{\ge 1}$ 给出了元素的 multiset

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举个例子，节点集合是S，每个节点的邻居集合是m

引理2 假设 G1 和 G2 是两个不同构的图。如果对于一个GNN模型 A， G1 和 G2 有着不同的嵌入，那么WL图同构检测也能得到同样的结果。

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引理2说明：任何基于聚合的GNN的效果天花板是WL算法。

WL测试：有效且计算高效的检测图同构算法

• 迭代地聚合节点及其邻居的标签
• 哈希聚合的标签为新的标签
• 对比标签，如果在某次迭代中两个图的节点标签不同则不是同构的

定理3 假设 A 是一个GNN模型。如果由足够多的GNN层，A 能够将任何WL算法检测为非同构的图 G1 和 G2 表达为不同的嵌入。同时，这需要满足以下约束：

• A 通过 h v ( k ) = ϕ ( h v ( k − 1 ) , f ( { h u ( k − 1 ) : u ∈ N ( v ) } ) ) h_v^{(k)} = \phi (h_v^{(k-1)}, f(\{ h_u^{(k-1)} : u \in N(v) \})) hv(k)​=ϕ(hv(k−1)​,f({hu(k−1)​:u∈N(v)})) 迭代地聚合和更新节点特征
  • 其中，$f$作用于multiset，$\varphi$是单射的
• A 的 graph-level readout (作用于节点特征 { h v ( k ) } \{ h_v^{(k)} \} {hv(k)​}的multiset) 是单射的

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Readout函数：输入节点嵌入生成整图嵌入的函数

定理3说明：如果聚合邻居的函数和graph-level readout函数是单射的，那么GNN的结果可以和WL算法一样好

引理4 假设输入的特征空间 $\mathcal{X}$ 是可数的，如果 $g^{(k)}$ 是由GNN的第k层参数化的函数 (k=1,2,3,…,L, $g^{(1)}$定义在有界的multiset $X\subset \mathcal{X}$ 上)，那么 $g^{(k)}$ 的范围也是可数的 (对于k=1,2,3,…,L)

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疑惑：是在讲收敛性吗？

GNN 相比 WL 的优势

• 由于WL算法的节点特征向量本质上是one-hot encodings，因此无法得知子树的相似性。
  • 疑问：多次迭代不就可以知道n阶邻居的信息了吗，是因为哈希方法处理特征所以无法有效保存结构信息吗？
• 但满足定理3的GNN模型可以获得图结构的相似性，学习为子树生成低维嵌入。

Graph Isomorphism Network (GIN)

GIN满足定理3，是WL算法的推广，因此取得了一众GNN中最好的判别效果

引理5 假设 $\mathcal{X}$ 是可数的。那么存在一个函数 $f:\mathcal{X}\to {\mathbb{R}}^n$ 使得 $h(X)={\sum }_{x\in X}f(x)$ 对于每一个有界的multiset $x\subset \mathcal{X}$ 是唯一的。此外，对于某些函数 $\varphi$ ，任何 multiset 函数 g 都可以被分解为 $g(X)=\varphi ({\sum }_{x\in X}f(x))$ 。

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引理5说明：累加聚合器是单射的，是multiset的通用函数

推论6 假设 $\mathcal{X}$ 是可数的。那么存在一个函数 $f:\mathcal{X}\to {\mathbb{R}}^n$ ，对于 $ϵ$ 的无限个选择 (包含所有无理数) ，对于每一对 $(c,X)$ ，$h(c,X)=(1+ϵ)\cdot f(c)+{\sum }_{x\in X}f(x)$ 是唯一的 (其中$c\in \mathcal{X},X\subset \mathcal{X}$)。此外，对于一些函数，$(c,X)$ 上的任何函数都可以被分解为 $g(c,X)=\phi ((1+ϵ)\cdot f(c)+{\sum }_{x\in X}f(x))$。

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推论6在众多聚合方案中提供了一个简单而具体的公式。

GIN 更新公式 - 节点：

$$h_v^{(k)}=ML{P}^{(k)}((1+{ϵ}^{(k)})\cdot h_v^{(k-1)}+\sum _{u\in \mathcal{N}(v)}{h}_u^{(k-1)})$$

• MLP : 多层感知机
• $ϵ$ : 可学习的参数或固定值

GIN Readout函数 - 整图：

h G = C O N C A T ( R E A D O U T ( { h v ( k ) ∣ v ∈ G } ) ∣ k = 0 , 1 , . . . , K ) h_G = CONCAT(READOUT(\{ h_v^{(k)} | v \in G \}) | k=0,1,...,K ) hG​=CONCAT(READOUT({hv(k)​∣v∈G})∣k=0,1,...,K)

通过定理3 和 推论6 可知，如果使用上式作为readout函数（累加相同迭代的所有节点特征作为图的表征），那么它是WL的推广。

GNN方法对比

单层感知机 vs 多层感知机

引理7 存在有限个multiset $X_1\ne X_2$ ，对于任何线性映射 W，${\sum }_{x\in X_1}ReLU(Wx)={\sum }_{x\in X_2}ReLU(Wx)$ 。

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引理7说明：存在仅用单层感知机的模型永远无法区分的网络邻域 (multiset)

• 缺少偏置项的单层感知机类似于线性映射，GNN层退化为仅仅累加邻居特征，引理7就是基于此证明得到的。
• 相比MLPs，单层感知机 (即使存在偏置项) 就算能够在某种程度上嵌入不同的图到不同的位置，依然难以捕获结构的相似性，因此难以完成分类任务。

聚合方法对比 - Mean && Max && Sum

• sum 捕获完整的multiset
• mean 捕获multiset中元素的分布 / 比例
• max 则忽略了多样性，将multiset简化为一个简单的集合

• (a) 图的两种结构使用mean和max无法区分
• (b) 图的两种结构使用max无法区分
• © 图的两种结构使用mean和max无法区分

Mean和Max方法是置换不变的，但不是单射的。而三种方法中，Sum方法更接近偏向单射。

Mean

推论8 假设 $\mathcal{X}$ 是可数的。存在一个函数 $f:\mathcal{X}\to {\mathbb{R}}^n$ 使得当且仅当 $X_1$ 和 $X_2$ 有着相同的分布时，$h(X)=\frac{1}{|X|}{\sum }_{x\in X}f(x),h(X_1)=h(X_2)$ 。也就是说，假设$|X_2|\ge |X_1|$ ，那么，对于一些 $k\in {\mathbb{N}}_{\ge 1}$ ，我们有 $X_1=(S,m)$ 和 $X_2=(S,k\cdot m)$ 。

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该定理说明了使用Mean无法区分的情况，对于Mean而言：

• $X_1=(S,m)$ 和 $X_2=(S,k\cdot m)$ 时，$X_1=X_2$ 。( $k\cdot m$ 表示有k个m的复制 )
• 捕获的只是邻居特征的分布
• 适合节点分类任务，因为在这类任务节点的特征丰富，并且邻域特征的分布有着巨大的重要性

Max

推论9 假设 $\mathcal{X}$ 是可数的。存在一个函数 $f:\mathcal{X}\to {\mathbb{R}}^{\infty }$ 使得得当且仅当 $X_1$ 和 $X_2$ 有着相同的基础集时，$h(X)=MA{X}_{x\in X}f(x),h(X_1)=h(X_2)$ 。

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该定理说明了使用Max无法区分的情况，对于Max而言：

• 既不捕获结构信息也不捕获分布信息，捕获的是 the underlying set of a multiset
• 适合识别代表性元素或 ”skeleton“ 的任务，如3D点云的骨架，并且对噪声和异常值具有鲁棒性

实验

• GIN-$ϵ$ : 通过梯度下降法学习$ϵ$
• GIN-0 : 设置$ϵ$为固定值0

可以看出，GIN-$ϵ$ 和 GIN-0 对于所有数据集都有这不错的效果。此外，GIN-0 略优于 GIN-$ϵ$，作者归因于其简单性。