基于C#实现并查集

news2024/12/23 1:30:16

一、场景

有时候我们会遇到这样的场景，比如:M={1,4,6,8},N={2,4,5,7}，我的需求就是判断{1,2}是否属于同一个集合，当然实现方法有很多，一般情况下，普通青年会做出 O(MN)的复杂度，那么有没有更轻量级的复杂度呢？并查集就是用来解决这个问题的。

二、操作

从名字可以出来，并查集其实只有两种操作，并(Union)和查(Find)，并查集是一种算法，所以我们要给它选择一个好的数据结构，通常我们用树来作为它的底层实现。

2.1、节点定义

 #region 树节点
 /// <summary>
 /// 树节点
 /// </summary>
 public class Node
 {
     /// <summary>
     /// 父节点
     /// </summary>
     public char parent;

     /// <summary>
     /// 节点的秩
     /// </summary>
     public int rank;
 }
 #endregion

2.2、Union 操作

<1> 原始方案
首先我们会对集合的所有元素进行打散，最后每个元素都是一个独根的树，然后我们 Union 其中某两个元素，让他们成为一个集合，最坏情况下我们进行 M 次的 Union 时会存在这样的一个链表的场景。

从图中我们可以看到，Union 时出现了最坏的情况，而且这种情况还是比较容易出现的，最终导致在 Find 的时候就相当复杂了，为 O(N)。
<2> 按秩合并
我们发现出现这种情况的原因在于我们 Union 时都是将合并后的大树作为小树的孩子节点存在，那么我们在 Union 时能不能判断一下，将小树作为大树的孩子节点存在，最终也就降低了新树的深度，比如图中的 Union(D,{E,F})的时候可以做出如下修改。

可以看出，我们有效的降低了树的深度，在 N 个元素的集合中，构建树的深度不会超过 LogN 层。M 次操作的复杂度为 O(MlogN)，从代码上来说，我们用 Rank 来统计树的秩，可以理解为树的高度，独根树时 Rank=0，当两棵树的 Rank 相同时，可以随意挑选合并，在新根中的 Rank++ 就可以了。

 #region 合并两个不相交集合
 /// <summary>
 /// 合并两个不相交集合
 /// </summary>
 /// <param name="root1"></param>
 /// <param name="root2"></param>
 /// <returns></returns>
 public void Union(char root1, char root2)
 {
     char x1 = Find(root1);
     char y1 = Find(root2);

     //如果根节点相同则说明是同一个集合
     if (x1 == y1)
         return;

     //说明左集合的深度 < 右集合
     if (dic[x1].rank < dic[y1].rank)
     {
         //将左集合指向右集合
         dic[x1].parent = y1;
     }
     else
     {
         //如果 秩 相等，则将 y1 并入到 x1 中，并将x1++
         if (dic[x1].rank == dic[y1].rank)
             dic[x1].rank++;

         dic[y1].parent = x1;
     }
 }
 #endregion

2.3、Find 操作

我们学算法，都希望能把一个问题优化到不能优化的地步，针对 logN 的级别，我们还能优化吗？当然可以。
<1> 路径压缩
在 Union 和 Find 这两种操作中，显然我们在 Union 上面已经做到了极致，下面我们在 Find 上面考虑一下，是不是可以在 Find 上运用伸展树的思想，这种伸展思想就是压缩路径。

从图中我们可以看出，当我 Find(F)的时候，找到“F”后，我们开始一直回溯，在回溯的过程中给，把该节点的父亲指向根节点。最终我们会形成一个压缩后的树，当我们再次 Find(F)的时候，只要 O(1)的时间就可以获取，这里有个注意的地方就是 Rank，当我们在路径压缩时，最后树的高度可能会降低，可能你会意识到原先的 Rank 就需要修改了，所以我要说的就是，当路径压缩时，Rank 保存的就是树高度的上界，而不仅仅是明确的树高度，可以理解成"伸缩椅"伸时候的长度。

 #region  查找x所属的集合
 /// <summary>
 /// 查找x所属的集合
 /// </summary>
 /// <param name="x"></param>
 /// <returns></returns>
 public char Find(char x)
 {
     //如果相等，则说明已经到根节点了，返回根节点元素
     if (dic[x].parent == x)
         return x;

     //路径压缩(回溯的时候赋值，最终的值就是上面返回的"x"，也就是一条路径上全部被修改了)
     return dic[x].parent = Find(dic[x].parent);
 }
 #endregion