利用SVD对图像进行压缩

使用SVD能够对数据进行降维，对图像进行SVD，降维之后然后重构数据，还原后的图像就是压缩后的图像。
SVD

SVD进行图像压缩所依据的数学原理就是矩阵的近似表示：
$$A_{m\times n}\approx U_{m\times k}{\sum }_{k\times k}{V}_{k\times n}^T$$

使用SVD对图像进行压缩的最关键的就是确定k值，也就是使用多少个奇异值。用的越多那肯定包含原矩阵的信息就越多，但这样处理的数据也多，所以需要在数据量和还原度之间取个平衡。确定k有很多启发式的策略，其中一个典型的做法就是保留矩阵中90%的能量信息，即计算所有奇异值的平方和，取前k个奇异值平方和是总体奇异值平方和的90%。另一个启发式策略是当矩阵有上万奇异值时，就保留前面的2000或3000个，该方法虽然在实际中容易实施，但是任何数据集都不能保证前3000个奇异值就能够包含90%的能量信息。
在进行图像压缩时，我们采用两种策略来确定k的值：
1.通过奇异值总和的百分比来确定k的值
2.通过奇异值总个数的百分比来确定k的值

from PIL import Image
import numpy as np


def get_approx_SVD1(data, percent):
	#这里了的percent是奇异值总和的百分比
    U, s, VT = np.linalg.svd(data)
    Sigma = np.zeros(np.shape(data))
    Sigma[:len(s), :len(s)] = np.diag(s)
    count = int(sum(s)) * percent
    k = -1
    curSum = 0
    while curSum <= count:
        k += 1
        curSum += s[k]
    D = U[:, :k].dot(Sigma[:k, :k].dot(VT[:k, :]))
    #将矩阵 D 中小于 0 的元素设置为 0，将大于 255 的元素设置为 255。
    #因为在图像处理中，像素值通常被限制在0～255
    D[D < 0] = 0
    D[D > 255] = 255
    return np.rint(D).astype("uint8")


def get_approx_SVD2(data, percent):
    U, s, VT = np.linalg.svd(data)
    Sigma = np.zeros(np.shape(data))
    Sigma[:len(s), :len(s)] = np.diag(s)
    k = (int)(percent * len(s))
    D = U[:, :k].dot(Sigma[:k, :k].dot(VT[:k, :]))
    D[D < 0] = 0
    D[D > 255] = 255
    return np.rint(D).astype("uint8")


def rebuild_img(filename, p, get_approx_SVD, flag):
    img = Image.open(filename, 'r')
    a = np.array(img)
    #以下的R0,G0,B0,R,G,B都是二维的，不要想成三维了
    R0 = a[:, :, 0]#获得红色的色素值
    G0 = a[:, :, 1]#获得绿色的色素值
    B0 = a[:, :, 2]#获得蓝色的色素值
    R = get_approx_SVD(R0, p)
    G = get_approx_SVD(G0, p)
    B = get_approx_SVD(B0, p)
    I = np.stack((R, G, B), 2)#合成三通道的Nummpy数组
    #Image.fromarray()函数的作用是将Nummpy数组还原为图像对象
    Image.fromarray(I).save(str(p * 100) + flag + ".jpg")
    img = Image.open(str(p * 100) + flag + ".jpg", 'r')
    img.show()


filename = "./test.jpg"
'''
np.arange(0.2, 1.2, 0.2)
第一个参数（0.2）：起始值，即数组的第一个元素。
第二个参数（1.2）：终止值，创建的数组中不包括这个值。
第三个参数（0.2）：步长，即数组中相邻元素之间的差值。
[0.2,0.4,0.6,0.8,1.0]
'''
for p in np.arange(0.2, 1.2, 0.2):
    rebuild_img(filename, p, get_approx_SVD1, "SVD1")
for p in np.arange(0.2, 1.2, 0.2):
    rebuild_img(filename, p, get_approx_SVD2, "SVD2")

原图：

效果示例：

使用特征值可以将图像进行压缩处理，压缩后的图像颜色像素会损失部分，通过设定不同的奇异值筛选百分比，对比图片压缩后的效果。
原图像的每一层大小为512x512=262144，效果图中上层的5个图，依次对应按奇异值总和的20%，40%，60%，80%，100%，进行压缩，当按奇异值总和的60%压缩时，可以达到原图像的效果，此时，只取了33个奇异值（占总奇异值个数的6%），即$U$、$\sum$、$V^T$的大小分别为512x33、33x33、33x512。此时，大小总共为$512\times 33+33\times 33+33\times 512=34881$，3个矩阵的大小总和远小于原图像的每一层大小。效果图下层的5个图，依次按照奇异值个数的20%，40%，60%，80%，100%，进行压缩。显然，当按照奇异值个数的20%取值时，其对应的奇异值总和的百分比已经超过了60%（算一下）。因此，建议按照奇异值总和的百分比压缩图像（其实通俗来说就是用的数据少，但是效果还不错，下层的图效果虽然都很好，但是用的数据太多了，压缩的数据量不够大）