快速幂原理介绍

快速幂模板

int qmi(int a, int k, int p) {
	int res = 1;
	while (k) {
		//后面的a其实是底数与其指数的运算结果了，是不断迭代的
		//第一个a其实就是a的2的0次方
		if (k & 1) res = (res * a) % p;

		a = (a * a) % p;
		//注意，a是一个不断变化的过程
		//下一个a就等于上一个a的平方，
		
		k >>= 1;
	}
	return res;
}

快速幂求逆元

首先要知道什么是逆元。

在模运算下，如果存在一个数 b，使得 (a * b) mod p = 1，a不是p的倍数，那么我们称 b 是 a 在模 p 下的逆元。

费马小定理：假设我们需要计算 a 在模 p 下的逆元，即要找到一个数 b，使得 (a * b) mod p = 1。根据费马小定理，当 a 不是 p 的倍数时，有 a^(p-1) mod p = 1。将其变形为 a^(p-2) mod p = a^(-1) (mod p)，即 a 的逆元（a^(-1)）等于 a^(p-2) 在模 p 下的余数。因此，我们只需使用快速幂算法计算 a^(p-2) mod p 即可得到 a 在模 p 下的逆元。

例题：

分析：

1.先看逆元存不存在，不存在就输出impossible。如果a不是p的倍数（a%p!=0），逆元才存在。

2.如果逆元存在，用快速幂算 a^(p-2) mod p 即可

int qmi(int a, int k, int p) {
	int res = 1;
	while (k) {
		//后面的a其实是底数与其指数的运算结果了，是不断迭代的
		//第一个a其实就是a的2的0次方
		if (k & 1) res = (res * a) % p;

		a = (a * a) % p;
		//注意，a是一个不断变化的过程
		//下一个a就等于上一个a的平方，
		
		k >>= 1;
	}
	return res;
}

bool check(int a, int p) {
	if (a % p == 0) return true;
	
	return false;
}
signed main() {
	int t; cin >> t;
	while (t--) {
		int a, p; cin >> a >> p;
		if (check(a, p)) {
			cout << "impossible" << endl;
			continue;
		}
		cout << qmi(a, p - 2, p) << endl;

	}


	retu