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- 0-1背包问题
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算法设计与分析复习–回溯（一）
0-1背包问题
问题描述：给定n中物品和一个背包。物品 i i i 的重量是 w i w_i wi ，其价格为 v i v_i vi , 背包容量为 c c c 。 问如何选择装入背包中的物品，使得装入背包物品的总价值最大？
左剪枝：满足背包容量即可
右剪枝：右剪枝就是求剩余背包重量rw = c - cw中贪心背包的最优价值，由于允许部分装入，所以一定比0-1背包装的满价值更大，结果是剩余价值的一个上界，允许右剪枝的条件更加宽松。
r
v
=
∑
v
j
(
不超过背包剩余重量的物品价值
)
+
(
背包剩余重量
)
∗
（不被放入的物品的单位价值）【部分装入的结果】
rv = \sum{v_j}(不超过背包剩余重量的物品价值) + (背包剩余重量) * （不被放入的物品的单位价值）【部分装入的结果】
rv=∑vj(不超过背包剩余重量的物品价值)+(背包剩余重量)∗（不被放入的物品的单位价值）【部分装入的结果】
限界函数：
c
v
+
r
v
>
=
b
v
cv + rv >= bv
cv+rv>=bv
交换搜索顺序：由于用到了贪心背包，所以按照物品单价从大到小的方式进行搜索。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef pair<double, double> PII;
const int N = 110;
double w[N], v[N];
int n, c;
double cw, cv, bv;
vector<PII> ob, x;//x用来记录当前的搜索顺序
vector<PII> ans;//最优解，解只有一个，将这个迭代的解记录
bool cmp(PII x, PII y)
{
return (x.second / x.first) > (y.second / y.first);
}
bool bound(int rw, int k)
{
int i = k + 1;
double rv = cv;
//printf("cv: %.2lf rw: %d\n", cv, rw);
while(i <= n && ob[i].first <= rw)
{
rw -= ob[i].first;
rv += ob[i].second;
i ++;
}
//printf("比值：%.2lf rw:%d\n", ob[i].second / ob[i].first, rw);
if (i <= n) rv += (ob[i].second / ob[i].first) * rw;
//printf("%d = %.2lf\n", k, rv);
return rv >= bv;
}
void dfs(int k)
{
if (k == n){
if (cv > bv){
bv = cv;//更新最优结果
ans = x;
}
return;
}
if (cw + ob[k].first <= c)
{
cw += ob[k].first;
x.push_back(ob[k]);
cv += ob[k].second;
dfs(k + 1);
cv -= ob[k].second;
x.pop_back();
cw -= ob[k].first;
}
if(bound(c - cw, k))
{
dfs(k + 1);
}
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &c);
for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%lf", &w[i]);
for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%lf", &v[i]);
for (int i = 0; i < n; i ++) ob.push_back({w[i], v[i]});
sort(ob.begin(), ob.end(), cmp);
dfs(0);
puts("对应物品的重量和价值:");
for (auto i : ans)
printf("{%d, %d} ", (int)i.first, (int)i.second);
puts("\n最优价值：");
printf("%d", (int)bv);
return 0;
}
图着色问题
洛谷P2819 图的 m 着色问题
左剪枝：一条边两个节点的颜色不能相同。
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 110;
int color[N], g[N][N];
int n, m, ans = 0;
bool constrain(int k) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (g[k][i] == 1 && color[k] == color[i]) {
return false;
}
}
return true;
}
void dfs(int k) {
if (k == n + 1) {
ans++;
return;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int prevColor = color[k]; // Backup current color需要先将之前的颜色备份起来否则无法恢复, 后面用的时候需要判断所以不能只覆盖掉
color[k] = i;
if (constrain(k)) {
dfs(k + 1);
}
color[k] = prevColor; // Restore the color after backtracking
}
}
int main() {
int k;
cin >> n >> k >> m;
for (int i = 0; i < k; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
g[u][v] = g[v][u] =1;
}
dfs(1); // Start from vertex 1
cout << ans << endl;
return 0;
}
只需找一个，我都找了（怒）
n皇后问题
AcWing 843. n-皇后问题
问题描述：皇后问题要求在一个nxn的棋盘上放置n个皇后，使得他们彼此不受攻击。n皇后问题要求寻找在棋盘上放置这n个皇后的方案，使得她们中任意两个都不在同一行、同一列或同一斜线。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 10;
char g[N][N];
int x[N];//x[i] 表示第i行第j列放皇后
int n;
bool constrain(int k, int j)
{
for (int i = 0; i < k; i ++)
if (x[i] == j || abs(k - i) == abs(j - x[i]))
return false;
return true;
}
void dfs(int k)
{
if (k == n)
{
for (int i = 0; i < n; i ++)
puts(g[i]);
puts("");
return;
}
for (int i = 0; i < n; i ++)
{
if (constrain(k, i))
{
x[k] = i;
g[k][x[k]] = 'Q';
dfs(k + 1);
g[k][x[k]] = '.';
}
}
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++)
for (int j = 0; j < n; j ++)
g[i][j] = '.';
dfs(0);
return 0;
}
利用st数组实现排列树
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 10;
char g[N][N];
int x[N], n;
bool st[N];
bool constrain(int k, int j)
{
for (int i = 0; i < k; i ++)
if (abs(k - i) == abs(j - x[i]))
return false;
return true;
}
void dfs(int k)
{
if (k == n)
{
for (int i = 0; i < n; i ++)
puts(g[i]);
puts("");
return;
}
for (int i = 0; i < n; i ++)
{
if (!st[i] && constrain(k, i))
{
st[i] = true;
x[k] = i;
g[k][x[k]] = 'Q';
dfs(k + 1);
g[k][x[k]] = '.';
st[i] = false;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++)
for (int j = 0; j < n; j ++)
g[i][j] = '.';
dfs(0);
return 0;
}
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未完待续
