数学原理

平面方程可写为

$$Ax+By+Cz+D=0$$

假设$C$不为0，则上式可以改写为

$$z=ax+by+d$$

则现有一组点 { p i } \{p_i\} {pi​}，则根据$x_i,y_i$以及平面方程，可以得到其对应的${\hat{z}}_i$

$${\hat{z}}_i=a{x}_i+b{y}_i+d$$

从而平面拟合就转换为了最小二乘问题

$$\mathrm{argmin}\sum |z_i-{\hat{z}}_i|$$

将其转换为矩阵形式，记

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ ⋮& ⋮& \\ x_n& y_n& 1\end{array}\right],x=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ d\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ ⋮\\ z_n\end{array}\right]$$

则拟合方程变为

$$Ax=b$$

相应地$x$可写为

$$x=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}b$$

最小二乘法的原理可见：python实现最小二乘法

代码实现

其代码实现如下

import numpy as np
def planefit(points):
    xs, ys, zs = list(zip(*points))
    A = np.vstack([xs,ys,np.ones_like(xs)]).T
    b = np.reshape(zs, [-1, 1])
    abd = np.linalg.inv(A.T @ A) @ A.T @ b
    return abd.reshape(-1)

其中输入参数points为一组点。第一步将这些点进行坐标拆分，得到一一对应的xs, ys, zs。然后通过这些点，构造矩阵A和向量b，最后输出$(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}b$。

测试

首先做一个初始化平面的函数，其功能是随机生成一组在平面中的点，并且为其添加一些噪声。

# 初始化平面
def initPlane(a, b, d, N, err=0.1):
    xs,ys = np.random.rand(2, N)
    zs = a*xs + b*ys + d + np.random.rand(N)*err
    return list(zip(xs, ys, zs))

然后用planefit函数对这些点进行拟合，通过对比二者之间的差异，来证实算法的有效性

import matplotlib.pyplot as plt

pts = initPlane(2,3,4,100,1)
a,b,d = planefit(pts)

xs, ys = np.indices([100,100])/100
zs = a*xs + b*ys + d

ax = plt.subplot(projection='3d')
ax.plot_surface(xs, ys, zs, cmap='jet')
ax.scatter(*np.array(pts).T, marker='*')
plt.show()

随着加入的噪声逐渐变大，拟合误差也越来越大

errs = [0.01, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 3, 5]
fits = []
for err in errs:
    pts = initPlane(2,3,4,100,1)
    a,b,d = planefit(pts)
    fits.append([abs(a-2),abs(b-3),abs(d-4)])

import pprint
pprint.pprint(fits)

---

[[0.09377971025135245, 0.023025216275622373, 0.4933931906466551],
[0.044310965250572654, 0.05681830483294226, 0.47952260969370997],
[0.051813469166934745, 0.017914573861143257, 0.47553046120193176],
[0.08578595894551588, 0.0464898508775029, 0.42791269232718054],
[0.011569662177250528, 0.15976404558136714, 0.4886516489062753],
[0.006829071411009302, 0.04832062421804073, 0.5193494695593301],
[0.1651263679674586, 0.0736367910618192, 0.44103226768552073]]

---