借着休假，重新研读了十多年前读过的乔治.伽莫夫所著图书《从一到无穷大--ONE TWO THREE...INFINITY》，该书作为20世纪最经典的科普类图书之一，当时读的懵懵懂懂，现在重新阅读又有了不同的感受，再结合过去的科研工作，深刻体会作者如何用通俗易懂、幽默风趣的语言来阐述科学中的事实和臆测，体会到了数学的魅力（特别是数论），体现了作者的深厚科学素养和人文底蕴。本次主要阐述第一二部分大数来历、无穷大数列、时空转换和相对性等内容，第三四部分的微观世界和宏观世界，将在后面陆续开放出来。作为科研工作人员，大家还是要时不时的阅读一些经典的科普图书，领会过去大师级人物是如何开展科学研究和实验验证的，记得上大学时，一位老教授在讲述什么是素质时说，所谓素质就是当你把所学的具体知识都忘记了后所剩下的东西，这就是人类的强大之处，能够从不同类型的图书中汲取营养模式，而且不同背景知识阅历的人，阅读同一本书会得到不同的启发灵感和感受，甚至有些东西会超出作者写这本书时的目的，引发更深刻宽广的思考共鸣等，以下是我的一些金句观点记录和思考，供大家参考。这本书与未来简史有些类似，是一部跨学科的著作，主要涉及数学、物理学和生物学等内容。

一、大数的由来和无穷数列等级

作者开头从做数字游戏出发，引出了数字的由来、数字的发展历程，阐述了最早的原始部落人员想到的最大数只有3，后续提出了古罗马表示法，比如我们很多家用的罗马钟表，但无法表示特别大的数，或者表示起来繁琐冗长，一直到2000年前印度数学家提出的阿拉伯数字（注：阿拉伯数字其实不是阿拉伯人发明的，是印度人发明经阿拉伯传到世界），这个就是我们现在用的阳码数字（0~9），然后又出现了指数的科学表示法，这样就非常好表示了，否则就需要在3后面写74个零，需要占满一整黑板，随着科学的发展，阿基米德在古希腊最大的数（万）基础上，引出了一个新数（万万，即亿），相当于又有了万、亿、亿亿、亿亿亿等等，这样数字的写法简化了很多，也方便交流引用，然后作者通过两个故事来描述更大的数，一个故事是印度西萨.班.达依尔宰相也是数学家，向印度舍汗王提出的在国际象棋棋盘上的请求麦粒的赏赐故事（即第一格放1粒，第二格放2粒，第三格放4粒，后面依次是前一格的一倍增长），全部算下来需要全世界2000年所产的全部小麦，可以说是一个非常大的大数，而宇宙中的原子比这个应该大多了，该如何表示呢？另一个故事是大家耳熟能详的汉诺塔游戏，三根银针，64片由小到大的金片，一次只能移动一个金片，并且只能小片在大片上面，从第1根银针全部移动到第3根银针总共需要多少步，最终计算得出需要5800亿年完成，这也是一个比较大的大数，说了这么多，不管这些数字有多大，也都是有限的，都可以穷尽的，但是，自然界还存在一些无穷大的数，如何计这些无穷大的数字呢？如何比较两个无穷大数的大小呢？比如所有整数的个数，所有偶数的个数，所有奇数的个数，所有分数的个数等等，经过研究发现，这些无穷大的数目是一样大的，在无穷大世界里，部分可能等于全部，那么是不是所有的无穷大数都相等呢？其实不然，直线上的点数所构成的无穷大数要大于所有整数或分数所构成的无穷大数，因为一条线段上的点主要由不循环小数和少部分无限循环小数组成的，任何分数都可以写成循环小数，数量等于整数数量。再进一步，平面上的点构成的无穷大数与线段上的点构成的无穷大数一样（可通过做平行线法证明），同样，立方体内的点数和正方形、线段上的点数也一样，都属于第二级的无穷大数列；对于曲线，包含了各种形状，这个点数构成的无穷大数据都比几何点构成的无穷大数据大一个数量级，属于第三级无穷数列。
总之，所有分数、整数的数目属于第一级无穷数列（ψ0），线面体上所有几何点的数目属于第二级无穷数列（ψ1），所有几何曲线的点数目属于第三级无穷数列（ψ2），到目前为止，还没有想得出用ψ3表示的无穷大数，感觉又回到了原始部落最大数不过3的情况，目前没有太多的东西让我们数。

二、数论研究中的自然数定理

数学是所有科学的基础，科学是皇帝，数学就是皇后。最纯粹的数学就是数论，也叫做经验数学或实验数学，比如质数是无穷无尽的，科学家一直在找计算质数的公式，可惜目前找到的都是不合适的，比如费马的质数=、、等，这个问题至今没解决。著名的哥德巴赫猜想是任何偶数都能表示为两个质数之和，至今也没有证明或举出反证，后来苏联科学家史尼雷尔曼提出每个偶数都能表示为不多于300000个质数之和，之后苏联科学家得出结论为4个质数之和，但还是无法证明最早的哥德巴赫猜想。后来，科学家换了一个问题，看看指定范围内质数所占的百分比情况，因此得出一个结论，随着数值范围的扩大，质数数目相对减少了，但没有找到终止点，也得到另一个结论，从1到任意自然数N之间所包含的质数的百分比，近似于自然数的常用对数的倒数，而且随着N越大越接近。
数论上的很多定理，都是依靠经验得出的假设，很长时间都无法证明，还有一个定理叫做费马大定理，也叫做勾股定理，或者毕达哥拉斯三角形，，只有n=2时，xyz才有整数解，n>2时，xyz没有整数解，也叫做理想数论，至今也没有得到证明，目前科学家已经证明了n<=269时，这种情况都成立，其他情况下也没有找出反例，但也无法证明该定理假设的成立，可以说，这样看似简单的很多定理，都无法得到证明。

三、数论研究中的虚数来由和作用

神秘的根号1（即√-1），我们在中学时学开根号时，经常说做开根号想乘方（这里的开根号默认指开平方根），也就默认为开根号的数一定是0或正数，那么负数的平方根是多少呢？直到第16世纪，意大利科学家卡尔丹提出了虚数的概念，叫做虚幻的数，将负数的平方根叫做虚数，随着科学的发展，科学家逐渐将√-1叫做虚数的基数，记作i，正如1是所有实数的基数一样，虚数是实数在镜子里的幻想，有了虚数，后面我们计算分数的根式时就非常方便了，比如√-9=3i，5+√-15=5+√15i，有了虚数的支持，科学家就又提出了复数概念，这样我们在数轴上的任意一点就可以用复数表示，比如3+4i表示水平方向的坐标3，垂直方向坐标4的点，一个复数乘以i相当于在几何学上沿着坐标轴原点逆时针旋转90度，即变为-4+3i，如果乘以-i相当于顺时针旋转90度，有了虚数的支撑，科学家发现了普通的三维空间可以和时间结合，形成遵循几何学规律的思维空间，这个就是爱因斯坦及他的相对论提出的数学基础。

四、空间的不同特质

我们一般提到的空间具备了维度和坐标特性，比如0维的点，1维的线，2维的面，3维的体和弯曲的4维空间。几何学是研究长度和角度等各种数值关系的空间度量科学，同时还有一个分支就是几何拓扑学，拓扑学是研究顶点、连接和区域数目之间的关系，对于没有任何透眼的多面体来说，欧拉定理是成立的，即顶点数V+面数F=棱数E+2，对于面包圈或环状圆纹曲面型的多面体来说，公式为V+F=E；对于密麻花型多透眼多面体来说，公式为V+F=E-2，三者综合起来为V+F=E+2-2N，N为透眼个数。另一个典型的拓扑学问题是地图中的四色问题，即4种颜色就足以避免边界两端的区域采用不同颜色（不重复）。接下来开展三维空间的几何学想象，想象两个苹果，其中一只蛀虫在苹果内部中间形成一个顶呱呱的面包圈，然后沿面包圈切开这个苹果，相当于出现3类面（I为原来苹果表面,II为环状面,III为环状内部圈面），想象苹果就是一个橡皮泥揉搓，沿着相同面粘合，并将另一个完整苹果沿着切面I放入，最后形成一个环状的面包圈，其实自然界种胚胎的最初阶段就是胶囊，科学家认为宇宙最早也是。之后提到了左手系右手系物体在空间上的不同，自然界一般有两种物体，一种是对称性物体，如茶杯等，一种是非对称性物体，总体遵循左手或右手系，通过生活在曲面上的二维扁片生物来体会，然后通过莫比乌斯面和克莱茵瓶（即一个扭曲的曲面），右侧面生物就可以变成左侧面生物，左右手系可以通过扭曲处进行转换，如果自然界真的是这样，那么科学家带着一个左胸腔或左手套，环游宇宙一周再回到地面，左侧就变成右侧的了，这些都是空间的不同寻常特质，真的可以这样吗，目前未知还需要探索。

五、四维空间和时空相对性

大家想象一下，我们生活的三维空间加上时间维就转变为四维空间，三维空间到二维平面扁片的方式通过投影，同样的，四维到三维也可以通过投影来想象，四维空间的超正方体投影到三维空间是两个立方体构成，一个套在另一个里面，顶点相连接，对于生活在三维空间的我们来说，四维及以上维度只能通过想象投影来完成。我们日常生活中其实也在利用时间，只是没有意识到我们将其作为四维空间的一维度，比如我们一般思考问题都是何时何地，而且时间和空间相比有不同性质，比如时间一去不复返，时间空间的衡量尺度不同（钟表、尺子）等等，可以说，加入了时间维度的四维空间，对于研究宇宙行星运动或微观粒子运动，都只需考虑一束世界线（时空线）即可。
当然，引入时间维度也带来一个问题，单位换算的问题，科学家经过研究，引入了光速，光速是标准速度，是自然界的速度上限，三维空间的单位一般为距离单位，如米、英尺，时间维度乘以光速就可以转换为距离单位，有了光速，科学家为了方便度量宇宙中的超大距离，就引入了光年（光年时光一年传播的距离，光速为30万公里/秒）。解决了空间时间如何表示和转换的问题后，我们回过头来阐述日常生活中的一个事件，一般表示为什么时间，什么地点发生了什么事情（主题），比如1945年7月28日9点21分，一架军用飞机撞到纽约帝国大厦第79层，同样，另一个事件表述也类似，只是发生地和时间不同，这样两个事件在四维空间下就可以计算距离，只是由于光速太大，计算结果永远是一个负数的开方，但如果是两个宇宙行星之间发生的事件，就不会出现负数，然后引入上一节提到的虚数概念，就可以计算两个事件的四维空间距离，而我们日常说的空间距离就是实四维空间的普通距离，而虚四维距离是接近于时间间隔的类时间距离，相当于四维空间距离包含了两部分，一个是距离的实部，一个是距离的虚部，相当于从数学角度，将时间和空间在四维空间世界中结合起来了。
在时空的相对性中，爱因斯坦提出了在运动物体上观察到的两个事件的时间间隔，不同意从地面上观察到的时间间隔，再结合时空等效的观点，一个观察者认为同时发生的两个事件，在另一个观察者看来，则可以认为是两个事件相隔一段时间或距离，在四维几何学看来，在静止系统中，四维距离是百分比的投影空间坐标轴上的距离平方和再开根，但在运动系统上来观察，空间投影总是要变短一些，具体缩短多少取决于两个系统的相对运动情况，即相对运动速度。
在弯曲空间和重力之谜中，爱因斯坦提出的引力理论表示在一个质量特别大的物体周围，物理空间会发生局部弯曲，而重力现象仅仅是四维时空世界的弯曲所产生的效应，而光线走的是通过弯曲空间的短程线（即最直的路线），因此，经过太阳附近的光线会发生弯曲，这个结论已经过1919年的日全食观测实验证实。
在闭空间和开空间中，大家知道，在一个平坦的空间中，任意三角形的内角和为180度，空间无限扩展；在一个类似于球面的正曲率空间中，相当于随着空间的逐渐变大，最终会变成一个自我封闭的球体，任意三角形的内角和大于180度；在一个类似于马鞍面的负曲率空间中，随着空间逐渐变大，会无限扩展，任意三角形的内角和小于180度，上述三种空间表示方式其实就是科学家研究宇宙空间有限无限的一种方法，当然目前还是没有定论。