【算法每日一练]-图论（保姆级教程 篇5（LCA，最短路，分层图）） #LCA #最短路计数 #社交网络 #飞行路线 # 第二短路

news2024/11/22 6:16:07

今天讲最短路统计和分层图

目录

题目：LCA 

思路：

题目：最短路计数

思路：

题目：社交网络

思路：

题目：飞行路线 

思路：

题目：第二短路

思路：

        

        

题目：LCA 

        

思路：

        

非常明显了，之前就说过倍增迭代就是一个一个选区间使总长度达到 M（凑一个数），用不大于它最大的二的次幂，减去之后，再重复这个过程。所以LCA+倍增逼近是最快的。

                

#include<bits/stdc++.h> //最近公共祖先LCA P3379：给一棵数，求任意两点的LCA 
using namespace std;
const int maxn=500002;
int n,m,s,tot=0;
int head[maxn],d[maxn],p[maxn][21];//d存的是深度（deep）,p[i][j]存的从i向上走2的j次方那么长的路径到的父节点
struct node{int v,next;}e[maxn*2];//存数要开两倍
void add(int u,int v){e[++tot]={v,head[u]};head[u]=tot;}     
         
void dfs(int u,int fa)// 首先进行的预处理，将所有点的deep和p的初始值dfs出来
{
    d[u]=d[fa]+1; p[u][0]=fa;  //处理深度,父节点
    for(int i=1;(1<<i)<=d[u];i++)//i<log(d[u]) 处理每个u的st表
        p[u][i]=p[p[u][i-1]][i-1];
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){ //处理u的孩子的st表
        int v=e[i].v;
        if(v!=fa) dfs(v,u);//只能向下走，不能向上走
    }
}                              
int lca(int a,int b) //非常标准的lca查找（两次逼近）
{
    if(d[a]>d[b]) swap(a,b);   //保证a是在b结点上方（d[b]大）
    for(int i=20;i>=0;i--){
    	if(d[a]<=d[b]-(1<<i)) b=p[b][i];//向上逼近（b向上移到和a同一个深度）
	}  
    if(a==b) return a;  //特判
    for(int i=20;i>=0;i--)
    {
        if(p[a][i]==p[b][i]) continue; //向上逼近（A和B一起向上，不断逼近最下端的公共祖先）
        else a=p[a][i],b=p[b][i];     
    }
    return p[a][0];  //找出最后a值的数字
}
int main()
{
    int a,b;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);//n个结点，m次询问，s是树根编号
    for(int i=1;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b); add(b,a); //无向图，要加两次              
    }
    dfs(s,0);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",lca(a,b));
    }
    return 0;
}

        

         

题目：最短路计数

                  

思路：

        

注意到每条路径的权值都是1，难怪结果会那么大。

        

dikjkstra和spfa版本最短路计数：
1，维护最短路时产生的：那就是映射关系（因为引入的是周围点，相当于ans[v]=ans[cur]*1）
2，新最短路：发现了新的最短路就相加

        
floyd版本最短路计数：
1，维护最短路时产生的：（因为引入的是任意点，故ans[i][j]=ans[i][k]*ans[k][j]）
2，新最短路：发现了新的最短路就相加

、        

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
const int N=1e6+5,M=2e6+5;
int mod=100003,n,m,tot=0;
int head[N],vis[N],dis[N],ans[N];
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii>>Q;
struct node {int to;int next;}e[M*2];
void add(int u,int v){e[++tot]=(node){v,head[u]};head[u]=tot;}
void dijkstra(int s){
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	Q.push({0,s});dis[s]=0;ans[s]=1;
	while(!Q.empty()){
		int cur=Q.top().second;Q.pop();
		if(vis[cur])continue;//跳不跳无所谓，无非耗点时间
		vis[cur]=1;
		for(int i=head[cur];i;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].to;
			if(dis[cur]+1<dis[v])dis[v]=dis[cur]+1,ans[v]=ans[cur],Q.push({dis[v],v});//映射最短路(路过此点可以变短，那么最短路就和它有关)
			else if(dis[cur]+1==dis[v])ans[v]+=ans[cur],ans[v]%=mod;//新最短路(发现了另外的最短路就相加)
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m;int x,y;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);add(y,x);
	}
	dijkstra(1);
	//spfa(1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<<ans[i]<<'\n';
	}
}

                 

//spfa版本：这个版本更快！！！！
void spfa(int s){
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	queue<int>q;vis[s]=1;
	q.push(s);dis[s]=0;ans[s]=1;
	while(!q.empty()){
		int cur=q.front();q.pop();
		vis[cur]=0;
		for(int i=head[cur];i;i=e[i].next){
			int v=e[i].to;
			if(dis[cur]+1<dis[v]){
			   dis[v]=dis[cur]+1;
			   ans[v]=ans[cur];
			   if(!vis[v])q.push(v),vis[v]=1;	
			}
			else if(dis[cur]+1==dis[v])ans[v]+=ans[cur],ans[v]%=mod;
		}
	}
}

        

        

题目：社交网络

                

思路：

        

点i的重要程度=∑从s到t的且经过i最短路条数/从s到t的最短路条数（s!=i，t!=i）

主要还是floyd算法，求出每个(i,j)对每个k的重要程度为ans[k]
求到某点时最短路径数：
1，只要最短路更新，那么最短路个数也要更新
2，如果发现了新的最短路，那么就相加
        

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;   
typedef long long ll;
const int N=110;
ll INF,dis[N][N],e[N][N];//e[i][j]表示（i，j）的最短路径数
double ans[N];//每个点的重要程度
int main(){
	int n,m;ll x,y,z;
	cin>>n>>m;
	memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
	INF=dis[1][1];//初始化INF无穷大
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
		dis[x][y]=dis[y][x]=z;
		e[x][y]=e[y][x]=1;//初始化e[i][j]
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)  dis[i][i]=0;//对角线为0，但是不写也对其余任何边都没有影响，写不写随你
	for(int k=1;k<=n;k++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(dis[i][k]==INF||dis[k][j]==INF)continue;//有不通的就直接跳过
			if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j]){
				dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];//每个边只会更新一次，即当前最优
				e[i][j]=e[i][k]*e[k][j];//只要最短路更新，则最短路对应的个数也要更新即可
				continue;
			}
			if(dis[i][j]==dis[i][k]+dis[k][j]){//找到了第二条最短路，就相加
				e[i][j]+=e[i][k]*e[k][j];
			}
		}
	for(int k=1;k<=n;k++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(i==j||j==k||i==k)continue;
			if(dis[i][j]==dis[i][k]+dis[k][j])//对k遍历每个（i，j）
				ans[k]+=(1.0*e[i][k]*e[k][j])/e[i][j];
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%0.3f\n",ans[i]);
}

       

         

题目：飞行路线 

        

                 

思路：

        

 一个图中任意两个点都可以权值变成0，最多有k次，我们常常建立k层的分层图，相邻层所有点建立权值为0的立体边，然后跑最短路即可
        

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;
int cnt,head[110005];
int dis[110005];
bool vis[110005]; //标记当前白点，如果不想用vis，也可以判断取出元素的dis和dis数组中值是否一样
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int>>,greater<pair<int,int>> > Q; //堆优化(first是值，second是下标)
struct Edge{ int to,w,next;}e[2500001];
void add(int u,int v,int w) { e[++cnt]=(Edge){v,w,head[u]}; head[u]=cnt;}
void Dijkstra(int s)//dijktra+堆优化
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[s]=0;
    Q.push(make_pair(0,s));
    while(!Q.empty())  //必须用empty， size是求大小的，会慢一些 !!!
    {
		int u=Q.top().second; Q.pop();
		if(vis[u]) continue; //已经是白点的就跳过
	    vis[u]=1; //标记成白点
	    for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
	    {
	        int v=e[i].to,w=e[i].w;
	        if(dis[v]>dis[u]+w) dis[v]=dis[u]+w,Q.push(make_pair(dis[v],v));
	    }
    }    
}

int main()
{
	int n,m,k,s,t;
	cin>>n>>m>>k>>s>>t; //城市数，航线数，免费次数，起始城市号，终点城市号
    int u,v,c;
    for(int i=0;i<m;++i)
    {
    	cin>>u>>v>>c;//两个城市航线，费用
    	for(int j=0;j<=k;++j){//建立每层图
    		add(u+j*n,v+j*n,c);
            add(v+j*n,u+j*n,c);
            if(j!=k){//第k层下面没有了，就别建了
            	add(u+j*n,v+(j+1)*n,0); //分层图：所有相邻层间：上下层u，v的权值为0
            	add(v+j*n,u+(j+1)*n,0);
			}
		}
    }
    for(int i=1;i<=k;++i)
	{
		add(t+(i-1)*n,t+i*n,0);
	}//处理奇葩数据
    Dijkstra(s);
    printf("%d",dis[t+k*n]);
    return 0;
}

         

         

题目：第二短路

                 

思路：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;   
typedef pair<int,int> pii;
const int N=5005,M=100005;
int n,m,tot,flag;
int head[N],d1[N],d2[N],vis[N];
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > Q;
struct node{int to;int w;int next;}e[M*2];
void add(int u,int v,int w){e[++tot]=(node){v,w,head[u]};head[u]=tot;}
void dijkstra(int s){
	memset(d1,0x3f,sizeof(d1));//d1存放第一短路
	memset(d2,0x3f,sizeof(d2));//d2存放第二短路
	Q.push(make_pair(0,s));d1[s]=0;
	while(!Q.empty()){
		int cur=Q.top().second;Q.pop();
		if(vis[cur])continue;//vis数组可有可无，即便旧白点引入也掀不起变化，无非多走了几步
		vis[cur]=1;
		for(int i=head[cur];i;i=e[i].next){
			int v=e[i].to,w=e[i].w;flag=0;
			if(d1[cur]+w<d1[v])d2[v]=d1[v],d1[v]=d1[cur]+w,flag=1;//维护最短路，更新前的最短路就是次短路
			if(d1[cur]+w>d1[v]&&d1[cur]+w<d2[v])d2[v]=d1[cur]+w,flag=1;//最短路没有变化，更新次短路
			if(d2[cur]+w<d2[v])d2[v]=d2[cur]+w,flag=1;//维护次短路,如果d2[s]初始化成0,那么这个地方就出问题了
			if(flag)Q.push(make_pair(d1[v],v));
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m;int u,v,w;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);add(v,u,w);
	}
	dijkstra(1);
	cout<<d2[n];
}

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