1 基本概念

一个机器人在环境中会做各种动作， 环境会接收动作， 并引起自身状态的变迁， 同时给机器人以奖励。 机器人的目标就是使用一些策略， 做合适的动作， 最大化自身的收益。

整个场景一般可以描述为一个马尔可夫决策过程：
动作： 所有可能做出的动作的集合， 记作A（可能是无限的） 。
状态： 所有状态的集合， 记作S。
奖励： 机器人可能收到的奖励， 一般是一个实数， 记作r。
时间（t=1,2,3…） ： 在每个时间点t， 机器人会发出一个动作at， 收到环境给出的收益rt， 同时环境进入到一个新的状态st。
状态转移： S×A→S满足从当前状态到下一状态的转移， 只与当前状态以及当前所采取的动作有关。

累积收益： 从当前时刻0开始累积收益的计算方法是：
强化学习的核心任务是， 学习一个从状态空间S到动作空间A的映射， 最大化累积受益。 常用的强化学习算法有Q-Learning、 策略梯度， 以及演员评判家算法（Actor-Critic） 等。

2 价值迭代和策略迭代

价值迭代：

上面的迭代过程实际上运用了贝尔曼方程（Bellman Equation） ， 来对每个位置的价值进行更新：

价值V(s)由两部分组成：

策略迭代：

策略就是根据当前状态决定该采取什么动作。
如何衡量策略的好坏？ 这就需要介绍策略评估（Policy Evaluation） 。 给定一个策略π， 我们可以计算出每个状态的期望价值 V(s)。 策略迭代可以帮助我们找到更好的策略， 即期望价值更高的策略， 具体步骤如下：

3 Q-learning和与Deep Q-learning

Qlearning的本质是， 当前状态sj、 回馈aj、 奖励rj， 以及Q函数之间存在关系：

依据平方差距， 可以对Q函数的取值做迭代改进。

4 策略梯度

包括深度Q-learning在内的大多数强化学习算法， 都没有收敛性的保证， 而策略梯度（Policy Gradient） 则没有这些问题， 它可以无差别地处理连续和离散状态空间，同时保证至少收敛到一个局部最优解。
策略梯度的基本思想就是， 直接用梯度方法来优化R(θ)。 和Q-learning不同的是， 策略梯度并不估算Q函数本身， 而是利用当前状态直接生成动作at。
设τ为某一次0到T时间所有状态及行动的集合（称作一条轨迹） ， 则R(θ)=E(r(τ))， 其中函数r计算了轨迹τ的得分。

一个简单的算法描述如图：

∇θR(θ)实际上是一个随机变量g(τ)的期望。 我们对g(τ)进行若干次独立采样， 可以获得对其期望的一个估计。

如果能在不改变期望的前提下减少g(τ)的方差， 则能有效提高对其期望估计的效率。 由于所有可能的状态和动作序列构成了整个轨迹空间，概率密度在整个轨迹空间中的总和必须等于 1。这是因为所有可能事件的总概率应该等于 1。即

对g(τ)求期望可得：

对于任一个常量b， 我们定义一个强化梯度：

因为b是常数，增加前后期望值都不变，但是改变后的方差更小。

经过计算可以得到最优的b为：

因此改良后的策略梯度为：