【JAVA-排列组合】一个套路速解排列组合题

说明

在初遇排列组合题目时，总让人摸不着头脑，但是做多了题目后，发现几乎能用同一个模板做完所有这种类型的题目，大大提高了解题效率。本文简要介绍这种方法。

题目列表

所有题目均从leetcode查找，便于在线验证
46.全排列
47.全排列 II
78.子集
90.子集 II
39.组合总和
40.组合总和 II

模板代码

本文所有题目都可以用以下模板代码解决：

public class Template{
    private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
        dfs(nums, path);
        return res;
    }
    private void dfs(int[] nums, LinkedList<Integer> path) {
        if (path.size() == nums.length) { 
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            path.addLast(nums[i]);
            dfs(nums,path);
            path.removeLast();
        }
    }
}

上述代码是求nums（无重复元素）的全排列，每个元素允许选择多次。以1，2，3为例，如下图所示，从上往下看，选择第一个元素的时候，
可以选择1，2，3，假设第一个选定为1（将选定的元素存入path中，即path=[1]），那么第二个元素也能选择1，2，3，同理，第二个元素也选择1，即path=[1,1]时，选择第三个元素，依然能选择1，2，3。当第三个元素选定后，此时path的长度等于nums的长度，一个排列结果就计算出来了，加入到结果res中去，接着回溯，按照同样的逻辑运行下去，最后得到全排列结果。
在这里插入图片描述

题解

46. 全排列

题目描述

给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其所有可能的全排列。你可以按任意顺序返回答案。
示例 1：

输入： nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

示例 2：

输入： nums = [0,1]
输出：[[0,1],[1,0]]

示例 3：

输入： nums = [1]
输出：[[1]]

思路

和模板代码相比，只多一个限制：

一个元素只能选择一次。

还是以1，2，3为例，如下图，当path=[1]，选择第二个元素时，由于已经选择了1，所以再选择1时，应该被剪掉（红叉表示）。
为了判断某个元素是否被使用过，可以定义一个used数组，维护方式如下：

当元素被加入path中时，该元素被使用，used[i]=1；
当元素被移除path时，该元素未被使用，used[i]=0；
在计算时，如果发现元素已经被使用，则剪枝。

在这里插入图片描述

完整代码

package leetcode.plzh;

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

public class Permute_046 {
    private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        if(nums.length==0) return res;
        LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
        int[] used = new int[nums.length];
        dfs(nums, path, used);
        return res;
    }

    private void dfs(int[] nums, LinkedList<Integer> path, int[] used) {
        if (path.size() == nums.length) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if(used[i]==1) continue;//剪枝，同个元素不能选择多次
            path.addLast(nums[i]);
            used[i] = 1;
            dfs(nums,path,used);
            path.removeLast();
            used[i] = 0;
        }
    }
}

执行结果

在这里插入图片描述

小结

求数字数组（无重复元素）的全排列，在模板代码的基础上修改：

已经选择过的数字不能重复选择（使用used数组判断某个元素是否被使用过）

47.全排列 II

题目描述

给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序返回所有不重复的全排列。
示例 1：

输入： nums = [1,1,2]
输出：
[[1,1,2],
[1,2,1],
[2,1,1]]

示例 2：

输入： nums = [1,2,3]
输出：
[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

思路

和模板代码相比，多了以下限制：

一个元素只能选择一次。
可能存在重复元素

重复元素造成之前的全排列结果存在重复，现在的问题是怎么去重？
以1，1，2为例，如下图，我们第一个元素可以选择1，1，2，很明显选择第一个1的排列和选择第二个1的排列情况相同，所以选择第二个1的时候应该剪枝。为了判断重复，可以先将nums从小到大排序，如果：i>0&&nums[i]==nums[i-1]，说明重复，应该剪枝（i等于0时，代表该元素第一次被选择，肯定不存在重复）。

在这里插入图片描述

需要注意的是，再上图绿色标记部分，此时path=[1], 选择第二个元素时，遍历i的范围为0,1,2。即第二个元素有可能加入nums[0],nums[1],nums[2]。

i=0时，如果第二个元素选择nums[0],因为path中已经选择了第一个1，所以剪枝（used[i]==1）
i=1时，path：[1,1]
i=2时，path：[1,2]

上面的步骤2来看，满足条件：i>0&&nums[i]==nums[i-1]，按照上面的逻辑，应该被剪枝，但是显然[1,1,2]是一个合法的排列结果，不应该被剪掉。仔细观察发现，只有同层存在相同元素时才应该剪枝，不同层则不应该剪。

对于应该被剪枝的部分（红x标记），回溯后，第一个1会被标记为未使用，即：nums[i-1]=0
对于不应该被剪枝的部分（绿色标记），第一个1会被标记为使用，即：nums[i-1]=1

现在我们只取情况1，所以判断条件可以改写为：nums[i]==nums[i-1]&&used[i-1]==0

完整代码

package leetcode.plzh;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class PermuteUnique_047 {
    private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) return res;
        List<Integer> path = new ArrayList<>();
        int[] used = new int[nums.length];
        Arrays.sort(nums);//排序，方便判断同层是否重复，nums[i-1]==nums[i]则重复
        dfs(nums, path, used);
        return res;
    }

    private void dfs(int[] nums, List<Integer> path, int[] used) {
        if (path.size() == nums.length) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (used[i] == 1) continue;//剪枝，同个元素不能选多次，
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == 0) continue;//剪枝，避免同层重复
            path.add(nums[i]);
            used[i] = 1;
            dfs(nums, path, used);
            path.remove(path.size() - 1);
            used[i] = 0;
        }
    }
}

执行结果

在这里插入图片描述

小结

求数字数组（有重复元素）的全排列，在模板代码的基础上修改：

已经选择过的数字不能重复选择（使用used数组判断某个元素是否被使用过）
使用nums[i]==nums[i-1]判断重复：对nums从小到大排序
同层重复剪枝（nums[i]==nums[i-1]&&used[i-1]==0）

78.子集

题目描述

给你一个整数数组 nums ，数组中的元素 互不相同 。返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集不能包含重复的子集。你可以按 任意顺序 返回解集。
示例 1：

输入： nums = [1,2,3]
输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]

示例 2：

输入： nums = [0]
输出： [[],[0]]

思路

和模板代码相比，多了以下限制：

一个元素只能选择一次。
求子集，其长度不一定是nums.length，而是在这个范围：[0,nums.length]
求的是组合，而非排列，即[1,2]，[2,1]是同一种结果

对于限制2：

长度不再是nums.length，那么在向res加入path时，应该分别判断长度是0~nums.length时，加入结果。

对于限制3：
以1，2，3为例，如果将nums排序后，path后入的元素比上一个元素还要小时，应该剪枝。
在这里插入图片描述

完整代码

package leetcode.plzh;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

public class Subsets_078 {
    private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) return res;
        LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
        int[] used = new int[nums.length];
        Arrays.sort(nums);//保证后入的元素一定大于先入的元素，所以排序
        for (int i = 0; i <= nums.length; i++) {
            dfs(nums, path, used, i);
        }

        return res;
    }

    private void dfs(int[] nums, LinkedList<Integer> path, int[] used, int len) {
        if (path.size() == len) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (used[i] == 1) continue;//剪枝，同个元素不能选多次，
            if (!path.isEmpty() && nums[i] < path.peekLast()) continue;//剪枝，选择的下个元素比上个元素还要小
            path.addLast(nums[i]);
            used[i] = 1;
            dfs(nums, path, used, len);
            path.removeLast();
            used[i] = 0;
        }
    }
}

执行结果

在这里插入图片描述

优化代码

可以优化如下：

dfs中的for循环不是固定从0开始，而是从传入的begin开始。第一个元素从0开始找，第二个元素就只能从1开始找。总是从排序数组的下个元素找，包含两个隐含信息，同一个元素不可能被同时选择多次；下一个总是大于上一个元素。所以之前的剪枝逻辑都可以去掉。

package leetcode.plzh;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class Subsets_078 {
    private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) return res;
        List<Integer> path = new ArrayList<>();
        Arrays.sort(nums);
        dfs(nums, 0,path);
        return res;
    }

    private void dfs(int[] nums, int begin,List<Integer> path) {
        res.add(new ArrayList<>(path));
        for (int i = begin; i < nums.length; i++) {
            path.add(nums[i]);
            dfs(nums, i+1,path);//不能继续找当前元素，直接找下个元素，path中不可能选择到同一个元素，下一个也始终比上一个大
            path.remove(path.size() - 1);

        }
    }
}

优化执行结果

在这里插入图片描述
备注：后面的组合题，都可以使用这个模板

小结

求数组（无重复元素）的子集：
1.对nums排序
2.修改dfs中的for循环，让i从begin开始，下次遍历时用dfs(nums, i+1,path)

90.子集 II

题目描述

给你一个整数数组 nums ，其中可能包含重复元素，请你返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集不能包含重复的子集。返回的解集中，子集可以按 任意顺序 排列。
示例 1：

输入： nums = [1,2,2]
输出：[[],[1],[1,2],[1,2,2],[2],[2,2]]

示例 2：

输入： nums = [0]
输出： [[],[0]]

思路

和78 子集相比，多了以下限制：

nums可能包含重复数组

去重逻辑：同层相同则剪枝，nums[i]==nums[i-1]&&used[i-1]==0
在这里插入图片描述

完整代码

package leetcode.plzh;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class SubsetsWithDup_090_02 {
    private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> subsetsWithDup(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) return res;
        List<Integer> path = new ArrayList<>();
        int[] used = new int[nums.length];
        Arrays.sort(nums);
        dfs(nums, 0, path, used);
        return res;
    }
    private void dfs(int[] nums, int begin, List<Integer> path, int[] used) {
        res.add(new ArrayList<>(path));
        for (int i = begin; i < nums.length; i++) {
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == 0) continue;//同层相同，则剪枝
            path.add(nums[i]);
            used[i] = 1;
            dfs(nums, i + 1, path, used);
            path.remove(path.size() - 1);
            used[i] = 0;
        }
    }
}

执行结果

在这里插入图片描述

小结

求数组（有重复元素）的子集：
1.对nums排序
2.修改dfs中的for循环，让i从begin开始，下次遍历时用dfs(nums, i+1,path)
3. 增加同层相同元素的剪枝逻辑：i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == 0

39.组合总和

题目描述

给你一个无重复元素的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的所有不同组合，并以列表形式返回。你可以按任意顺序返回这些组合。

candidates 中的同一个数字可以无限制重复被选取。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。

对于给定的输入，保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。
示例 1：

输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7
输出：[[2,2,3],[7]]
解释：
2 和 3 可以形成一组候选，2 + 2 + 3 = 7 。注意 2 可以使用多次。
7 也是一个候选， 7 = 7 。
仅有这两种组合。

示例 2：

输入: candidates = [2,3,5], target = 8
输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]

示例 3：

输入: candidates = [2], target = 1
输出: []

思路

和78 子集相比，多了以下限制：

一个元素可以选择多次
目标和要等于target

对于限制1：修改dfs中下一个遍历为：dfs(nums, i，path)，
对于限制2：只有当目标和等于target时，才加入res中，为了避免死循环，比如一直选第一个元素，当path中的和大于target时，应该中止该分支的查找（不再向path中加入新的值），直接return。

完整代码

package leetcode.plzh;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class CombinationSum_039 {
    private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        List<Integer> path = new ArrayList<>();
        Arrays.sort(candidates);
        dfs(candidates, 0, path, target);

        return res;
    }

    private static int cnt = 0;

    private void dfs(int[] candidates, int begin, List<Integer> path, int target) {
        int total = path.stream().reduce(0, Integer::sum);
        if (total > target) return;
        if (total == target) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = begin; i < candidates.length; i++) {
            path.add(candidates[i]);
            dfs(candidates, i, path, target);
            path.remove(path.size() - 1);
        }
    }
}

执行结果

在这里插入图片描述

优化代码

在上面的代码中，每次dfs都是要对path求和，效率低下，我们可以直接传入target，固定第一个元素后，找下一个元素，target应该要减去当前元素。比如要在2,3,5中找和为8的组合，那么固定第一个元素2，下面就应该时找等于8-2的组合。当target为0时，说明path的和就等于target，当target小于0时，说明path中的累加和已经超过了原来的target，此时return。

package leetcode.plzh;

import java.util.*;

public class CombinationSum_039 {
    private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        List<Integer> path = new ArrayList<>();
        Arrays.sort(candidates);
        dfs(candidates, 0, path, target);
        return res;
    }

    private void dfs(int[] candidates, int begin, List<Integer> path, int target) {
        if(target<0) return;
        if (target == 0) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = begin; i < candidates.length; i++) {
            path.add(candidates[i]);
            dfs(candidates, i, path, target-candidates[i]);
            path.remove(path.size() - 1);
        }
    }
}

优化执行结果

时间由原来的21ms降低为3ms
在这里插入图片描述

40.组合总和 II

题目描述

给定一个候选人编号的集合 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

注意：解集不能包含重复的组合。

示例 1：

输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
输出:
[
[1,1,6],
[1,2,5],
[1,7],
[2,6]
]

示例 2：

输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
输出:
[
[1,2,2],
[5]
]

思路

和39 组合总和相比，多了以下限制：

一个元素只能选择一次
可能存在重复元素

对于限制1

可以dfs中遍历时，查找下一个元素即可：dfs(candidates, i+1, path, target-candidates[i]);

对于限制2：

新增去重逻辑：同层相同则剪枝，nums[i]==nums[i-1]&&used[i-1]==0

完整代码

package leetcode.plzh;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

public class CombinationSum2_040 {
    private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
        Arrays.sort(candidates);
        LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
        int[] used = new int[candidates.length];
        dfs(candidates, 0, path, target,used);
        return res;
    }

    public void dfs(int[] candidates, int begin, LinkedList<Integer> path, int target,int[] used) {
        if (target < 0) return;
        if (target == 0) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
        }

        for (int i = begin; i < candidates.length; i++) {
            if(i>0&&candidates[i]==candidates[i-1]&&used[i-1]==0) continue; //同层相同剪枝
            path.addLast(candidates[i]);
            used[i] = 1;
            dfs(candidates, i + 1, path, target - candidates[i],used);
            path.removeLast();
            used[i] = 0;
        }
    }
}