一次双绝对值不等式求解步骤

• 设$f=|f_1|+|f_2|$,$f_1,f_2$都是一次多项式,则原不等式$f⩾a$或$f⩽a$的解法的一般步骤:划分区间分段并去绝对值号,具体如下(为了称呼方便,用$\delta (f)$表示$f⩾a$或$f⩽a$的中的一种)

  1. 令每个绝对值符号例的一次式$f_i=0,i=1,2$为0,求出相应的根$x_1,x_2$
  2. 将这些根排序,设$x_1<x_2$,根据$x_1,x_2$将实数轴分为若干个区间:$(-\infty ,x_1),(x_1,x_2),(x_2,+\infty )$,分别记为$A_1,A_2,A_3$
  3. 在各区间上,去掉$f$的绝对值号,将$f$在3个区间内的解析式记为$t_i,i=1,2,3$,分别讨论各个区间内关于原不等式的解集$B_i,i=1,2,3$;然后取$S_i=A_i\cap B_i$,$i=1,2,3$作为第$i$区间原不等式解集;
     Note:不要直接把$B_i$当作原不等式在第$i$区间的解集(除非$B_i=\varnothing$),$S_i$只是$\delta (t_i)$在第$i$区间下表达式的自然解,需要结合第$i$区间的范围约束才是$\delta (f)$的解
  4. 将各个解集$S_i$作并集,$S={\bigcup }_{i=1}{S}_i$就得到原不等式解集

• 上述解法可以结合图形法理解,在同一个坐标系中绘制$|f_1|,|f_2|$的图形,可以看到三个区间内$f=|f_1|+|f_2|$有不同的解析式(不带绝对值号)

• 最后,可以将函数$f$绘制成分段函数

去绝对值情况分析👺

• 双绝对值的分段化有四种可能的解析式情况(以两个绝对值表达式内部的取值情况为分类标准)
  1. (+,+)
  2. (+,-)
  3. (-,+)
  4. (-,-)
• 可见,采用分类讨论的策略来去掉一次双绝对值函数中的两对绝对值号,最多可以得到4个不同的一次函数,但是实际可以确定2,3两种情况只有一种会发生,分析如下:
  • 一次函数$f(x)=ax+b,a\ne 0$,($f(x)$不是常数)的绝对值函数$|f(x)|$可以分为两段,$(-\infty ,-\frac{b}{a}]$以及$[-\frac{b}{a},+\infty )$
  • 对于$f(x)=|f_1(x)|+|f_2(x)|$,(其中$f_i(x)$都是一次函数);将$|f_1(x)|,|f_2(x)|$的图形绘制在同一个坐标系中
  • 记$f_i(x)$的根$x_i=-\frac{b_i}{a_i},i=1,2$,不妨设$x_1<x_2$(如果不是则调换$|f_1(x)|,|f_2(x)|$,因为加法满足交换律),当$x<x_1$;$x_1⩽x⩽x_2$以及$x>x_2$时$|f_1(x)|,|f_2(x)|$在各自区间内的去绝对值后的解析式之和不发生改变
  • 可见,只需要分3个区间段就可以完成对$f(x)$的分段分析(去绝对值分析),且3个区间段由$f_1(x),f_2(x)$的根确定

例

• 设$f(x)=|x-1|+|x-2|$,求$f(x)>5$的解集
• 解:
  • 计算两个一次式的根:$x_1=1$,$x_2=2$
  • $x\in (-\infty ,1]$,$f(x)=t_1(x)=1-x+2-x=-2x+3$,此时$t_1(x)>5$的解集为$x<-1$,此时$f(x)>5$的解集为:$(-\infty ,1]\cap (-\infty ,-1)$=$(-\infty ,-1)$
  • $x\in (1,2)$,$f(x)=t_2(x)=x-1+2-x=1$,$t_2(x)>5$的解集为$\varnothing$,此时$f(x)>5$的解集为:$\varnothing$
  • $x\in [2,+\infty )$,$f(x)=t_3(x)=x-1+x-2=2x-3$,$t_3(x)>5$的解集为$x>4$,此时$f(x)>5$的解集为$(4,\infty )$
  • 综上,$f(x)>5$的解集为$(-\infty ,-1)\cup \varnothing \cup (4,\infty )$=$(-\infty ,-1)\cup (4,\infty )$

例

• 本例主要演示分区间内去绝对值的推荐做法以及几何方法求解

代数法

• 设$f(x)=|x+2|+|x-1|$,求$f(x)<4$

  • 求区间划分点:$x_1=-2,x_2=1$

  • $x⩽-2$时

    • $x+2⩽-2+2=0$
    • $x-1⩽-3-1=-4⩽0$
    • $f(x)=-x-2-x+1=-2x-1$
    • 此时$f(x)<4$的解集为$(-\infty ,-2]\cap (-\frac{5}{2},+\infty )$,即$(-\frac{5}{2},-2]$

  • $-2<x<1$

    • $0<x+2<3$
    • $-3<x-1<0$
    • $f(x)=x+2-x+1=3$
    • 此时$f(x)<4$的解集为$(-2,1)$

  • $x⩾1$

    • $x+2⩾1$
    • $x-1⩾0$
    • $f(x)=x+2+x-1=2x+1$
    • 此时$f(x)<4$的解集为$[1,+\infty )\cap (-\infty ,\frac{3}{2})$=$[1,\frac{3}{2})$

  • 综上,原不等式$f(x)<4$的解集为$(-\frac{5}{2},-2]\cup (-2,1)\cup [1,\frac{3}{2})$=$(-\frac{5}{2},\frac{3}{2})$

几何方法

• $x$为不等式$|x+2|+|x-1|=|x-(-2)|+|x-1|<4$ $\iff$ $x$是数轴上的点$A(-2)$和$B(1)$两点距离之和小于4的点
• 记$|AB|$表示$A,B$的距离,$f(x)=|AX|+|BX|$
• $|AB|=|-2-1|=3$,因此$f(x)=3<4$,可见$x\in [-2,1]$是$f(x)<4$的解
• 为了找到全部解,考虑在$A,B$之外的点
  • 若$X$在距离A左侧$\delta (\delta >0)$处,则$f(x)=|AB|+2\delta =3+2\delta$,因此,$f(x)<4$ $\iff$ $\delta <\frac{1}{2}$,将临界点记为$A^{\prime }=-2-\delta =-\frac{5}{2}$
  • 若$X$在距离$B$右侧$\varphi (\varphi >0)$处,类似的有$\varphi <\frac{1}{2}$,将临界点记为$B^{\prime }=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
  • 因此$f(x)<4$的解集为$A^{\prime }{B}^{\prime }$内的点,即$(-\frac{5}{2},\frac{3}{2})$

比较

• 几何方法的局限性在于仅对$|x+b|+|x+c|$型的比较方便,否则使用更通用的代数法求解,重点是分类讨论

例

• 已知函数$f(x)=|x+1|-|2x-3|$,求不等式$|f(x)|>1$的解集

  • 

• 令$f_1(x)=x+1;f_2(x)=2x-3$则$f(x)=|f_1(x)|+|f_2(x)|$

• (1):

  • $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x-4,& (-\infty ,-1]\\ 3x-2,& (-1,\frac{3}{2})\\ -x+4,& [\frac{3}{2},+\infty )\end{array}$$

• (2):

  • 先将原不等式去绝对值

  • $$|f(x)|>1\iff \{\begin{array}{l}f(x)>1\\ f(x)<-1\end{array}$$

  • 方法1:结合(1)分段函数的图形

  • 方法2:

    • $f(x)>1$

      • $x-4>1$,$x\in (5,+\infty )$,$(5,+\infty )\cap (-\infty ,-1]=\varnothing$
      • $3x-2>1$,$x\in (1,+\infty )$,$(-1,\frac{3}{2})\cap (1,+\infty )$=$(1,\frac{3}{2})$
      • $-x+4>1$,$x\in (-\infty ,3)$,$[\frac{3}{2},+\infty )\cap (-\infty ,3)$=$[\frac{3}{2},3)$

    • $f(x)<-1$

      • $x-4<-1$,$x\in (-\infty ,-1]$
      • $3x-2<-1$,$x\in [-1,\frac{1}{3})$
      • $-x+4<-1$,$x\in (5,+\infty )$

    • 将上述6个几何求并集,得到$|f(x)|>1$的解集:$(-\infty ,-\frac{1}{3})$ $\cup$ $(1,3)$ $\cup$ $(5,+\infty )$