接着Python机器学习算法入门教程（第三部分），继续展开描述。

十九、信息熵是什么

通过前两节的学习，我们对于决策树算法有了大体的认识，本节我们将从数学角度解析如何选择合适的“特征做为判别条件”，这里需要重点掌握“信息熵”的相关知识。

信息熵这一概念由克劳德·香农于1948 年提出。香农是美国著名的数学家、信息论创始人，他提出的“信息熵”的概念，为信息论和数字通信奠定了基础。

在理解“信息熵”这个词语前，我们应该理解什么是“信息”。信息是一个很抽象的概念，比如别人说的一段话就包含某些“信息”，或者我们所看到的一个新闻也包含“信息”，人们常常说信息很多，或者信息较少，但却很难说清楚信息到底有多少。比如一篇 10 万字的论文到底包含多少信息量？信息熵就是用来解决对信息的量化问题的。

“熵”这一词语从热力学中借用过来的，热力学中的“热熵”是表示分子状态混乱程度的物理量，香农使用“信息熵”这一概念来量化“信息量”。信息的计算是非常复杂的，具有多重前提条件的信息，更是无法计算，但由于信息熵和热力熵紧密相关，所以信息熵可以在衰减的过程中被测定出来。

1、理解信息熵

想要非常清楚地讲明白“信息熵”到底是什么？需要结合物理上的知识，不过这样就有点“舍本逐末”，所以我们只要理解香农给出的相关结论即可：

信息熵是用于衡量不确定性的指标，也就是离散随机事件出现的概率，简单地说“情况越混乱，信息熵就越大，反之则越小”。

为了便于大家理解，我们通过下述示例进一步说明：

比如“台湾是中国的固有领土”和“台湾不是中国的固有领土”，你感觉哪一句话传递的信息量更大？当然是后者，因为前者属于既定事实，而后者若要发生的话，可能是发生了巨大的变革而导致的。如果一件事 100% 发生，那么这件事就是确定的事情，其信息熵无限接近于最小，但如果这件事具有随机性，比如抛硬币，其结果可能正面也可能反面，那么这件事就很不确定，此时的信息熵就无限接近于最大值。

再比如，封闭的房间一直不打扫，那么房间不可能越来越干净，只能不断的落灰和结下蜘蛛网，如果想要让它变得整洁、有序就需要外力介入去打扫房间。这个过程中趋向于混乱的房间其信息熵不断增大，而打扫后的房间，则趋向于信息熵最小。伟大数学家香农给出了信息熵的计算公式，如下所示：

其中 p 代表概率的意思，这里 “X” 表示进行信息熵计算的集合。在决策树分类算法中，我们可以按各个类别的占比（占比越高，该类别纯度越高）来理解，其中 N 表示类别数目，而 Pk 表示类别 K 在子集中的占比。理解了上述含义，再理解信息熵的计算过程就非常简单了，分为三次四则运算，即相乘、求和最后取反。

2、信息熵公式计算

下面我们举一个简单的例子，对上述信息熵计算公式进行简单的应用，在二元分类问题中，如果当前样本全部属于 k 类别，那么该类别在子集节点中的占比达到 100%（而另一个类别占比为 0），即 pk = 1，此时信息熵的计算公式如下：

关于对数函数的运算法则这里不再赘述，以 2 为底 1 的对数为 0，因此最终两个类别的信息熵求和结果为 0。信息熵为 0 说明子集内的类别一致“整齐有序”。由此也可以得知 pk=0.5 时候信息熵的取得最大值。下面根据上述信息，我们绘制信息熵的函数图像，如下所示：

3、ID3算法—信息增益

通过前面知识的学习，我们知道决策树算法是以包含所有类别的集合为计算对象，并通过条件判别，从中筛选出纯度较高的类别，那么我们如何利用信息熵从特征集合中选择决策条件呢？下面我们以 ID3 算法为例进行说明。

ID3（Iterative Dichotomiser 3，迭代二叉树3代）算法是决策树算法的其中一种，它是基于奥卡姆剃刀原理实现的，这个原理的核心思想就是“大道至简，用尽量少的东西去做更多的事情”。

把上述原理应用到决策树中，就有了 ID3 算法的核心思想：越小型的决策树越优于大的决策树，也就是使用尽可能少的判别条件。ID3 算法使用了信息增益实现判别条件的选择，从香农的“信息论”中可以得知，ID3 算法选择信息增益最大的特征维度进行 if -else 判别。

（1） 理解信息增益

那么到底什么是信息增益？我们又如何计算特征维度信息增益值的大小呢？

简单地说，信息增益是针对一个具体的特征而言的，某个特征的有无对于整个系统、集合的影响程度就可以用“信息增益”来描述。我们知道，经过一次 if-else 判别后，原来的类别集合就被被分裂成两个集合，而我们的目的是让其中一个集合的某一类别的“纯度”尽可能高，如果分裂后子集的纯度比原来集合的纯度要高，那就说明这是一次 if-else 划分是有效过的。通过比较使的“纯度”最高的那个划分条件，也就是我们要找的“最合适”的特征维度判别条件。

（2） 信息增益公式

那么如何计算信息增益值，这里我们可以采用信息熵来计算。我们通过比较划分前后集合的信息熵来判断，也就是做减法，用划分前集合的信息熵减去按特征维度属性划分后的信息熵，就可能够得到信息增益值。公式如下所示：

G(S,a) 表示集合 S 选择特征属性 t 来划分子集时的信息增益。H(x) 表示集合的信息熵。上述的“减数”看着有点复杂，下面重点讲解一下减数的含义：

• 大写字母 K 表示：按特征维度 t 划分后，产生了几个子集的意思，比如划分后产生了 5 个子集吗，那么 K = 5。
• 小写字母 k 表示：按特征维度 t 划分后，5 个子集中的某一个子集，k = 1 指的是从第一个子集开始求和计算。
• |S| 与 |Sk| 表示：集合 S 中元素的个数，这里的||并不是绝对值符号，而 |Sk| 表示划分后，某个集合的元素个数。
• |S| /|Sk| 表示：一个子集的元素个数在原集合的总元素个数中的占比，指该子集信息熵所占的权重，占比越大，权重就越高。

最后，比较不同特征属性的信息增益，增益值越大，说明子集的纯度越高，分类的效果就越好，我们把效果最好的特征属性选为 if-else 的最佳判别条件。

ID3 算法是一个相当不错的决策树算法，能够有效解决分类问题，其原理比较容易理解。C4.5 算法是 ID3 算法的增强版，这个算法使用了“信息增益比”来代替“信息增益”，而 CART 算法则采用了“基尼指数”来选择判别条件，“基尼指数”并不同于“信息熵”，但却与信息熵有着异曲同工之妙，这些将作为延伸扩展知识，在后续内容中讲解。

二十、决策树算法和剪枝原理

本节我们对决策算法原理做简单的解析，帮助您理清算法思路，温故而知新。

我们知道，决策树算法是一种树形分类结构，要通过这棵树实现样本分类，就要根据 if -else 原理设置判别条件。因此您可以这样理解，决策树是由许多 if -else 分枝组合而成的树形模型。

1、决策树算法原理

决策树特征属性是 if -else 判别条件的关键所在，我们可以把这些特征属性看成一个集合，我们要选择的判别条件都来自于这个集合，通过分析与计算选择与待分类样本最合适的“判别条件”。通过前面文章的学习，我们可以知道被选择的“判别条件”使得样本集合的某个子树节点“纯度”最高。

上述过程就好比从众多的样本中提取“类别纯度”最高的样本集合，因此我们可以起一个形象化的名字“提纯”，过程示意图如下所示：

图1：决策树流程图

通过上述流程图可以得知，决策树算法通过判别条件从根节点开始分裂为子节点，子节点可以继续分裂，每一次分裂都相当于一次对分类结果的“提纯”，周而复始，从而达到分类的目的，在这个过程中，节点为“否”的不在分裂，判断为“是”的节点则继续分裂。那么你有没有考虑过决策树会在什么情况下“停止”分裂呢？下面列举了两种情况：

（1） 子节点属于同一类别

决策树算法的目的是为了完成有效的样本分类。当某个数据集集合分类完成，也就分类后的子节点集合都属于同一个类别，不可再分，此时代表着分类任务完成，分裂也就会终止。

（2） 特征属性用完 

我们知道，决策树依赖特征属性作为判别条件，如果特征属性已经全部用上，自然也就无法继续进行节点分裂，此处可能就会出现两种情况：一种是分类任务完成，也就是子节点属于同一类别，还有另外一种情况就是分类还没有完成，比如，在判断为“是”的节点集合中，有 8 个正类 3 个负类，此时我们将采用占比最大的类作为当前节点的归属类。

（3） 设置停止条件

除上述情况外，我们也可以自己决定什么时候停止。比如在实际应用中我们可以在外部设置一些阈值，把决策树的深度，或者叶子节点的个数当做停止条件。

2、决策树剪枝策略

决策树算法是机器学习中的经典算法。如果要解决分类问题，决策树算法再合适不过了。不过决策树算法并非至善至美，决策树分类算法最容易出现的问题就是“过拟合”。什么是“过拟合”我们在教程的开篇已经提及过，它指的机器学习模型对于训练集数据能够实现较好的预测，而对于测试集性能较差。

“过拟合”使决策树模型学习到了并不具备普遍意义的分类决策条件，从而导致模型的分类效率、泛化能力降低。

决策树出现过拟合的原因其实很简单，因为它注重细节。决策树会根据数据集各个维度的重要性来选择 if -else 分支，如果决策树将所有的特征属性都用完的情况下，那么过拟合现象就很容易出现。

我们知道，每个数据集都会有各种各样的属性维度，总会出现一些属性维度样本分类实际上并不存在关联关系的情况。因此，在理想情况下决策树算法应尽可能少地使用这些不相关属性，但理想终归是理想，在现实情况下很难实现。那么我们要如何解决这种过拟合问题呢？这时就要用到“剪枝策略”。

“剪枝策略”这个名字非常的形象化，它是解决决策树算法过拟合问题的核心方法，也是决策树算法的重要组成部分。剪枝策略有很多种，我们根据剪枝操作触发时间的不同，可以将它们分成两种，一种称为预剪枝，另一种称为后剪枝。

（1） 预剪枝

所谓预剪枝，就是将即将发芽的分支“扼杀在萌芽状态”即在分支划分前就进行剪枝判断，如果判断结果是需要剪枝，则不进行该分支划分。

（2） 后剪枝

所谓后剪枝，则是在分支划分之后，通常是决策树的各个判断分支已经形成后，才开始进行剪枝判断。

上述两个剪枝策略，我们重要理解“预”和“后”。“预”就是打算、想要的意思，也就是在分支之前就被剪掉，不让分支生成，而“后”则是以后、后面，也就是分支形成以后进行剪枝操作。那么我要如何判断什么时候需要进行剪枝操作呢？其实很容易理解，如果剪枝后决策树模型在测试集验证上得到有效的提升，就判断其需要剪枝，否则不需要。

剪枝的操作对象是“分支的判别条件”，也就是减少不必要特征属性的介入，从而提高决策树分类效率，和测试集的预测能力。下面通过一个简单的例子进行说明：

某个样本数据集有两个类别（正类与负类），2 个特征属性，现在我们对 20 个样本进行分类。首先，在应用所有“特征属性”的情况下对样本进行分类。如下所示：

图2：决策树过拟合问题

上图 2 使用了两个特征属性对样本集合进行分类，最后正确分类的概率是 12/20。如果只通过特征 1 进行分类，也就是剪掉冗余特征 2，最后的结果又是怎样呢？如下图所示：

图3：决策树剪枝策略流程

通过后剪枝策略后，正确分类概率变成了 16/20。显而易见，剪枝策略使得正确分类的概率得到提高。

剪枝策略较容易理解，在实际情况中后剪枝策略使用较多。在分支生成后，使用后剪枝策略将冗余的子树及其判别条件直接剪掉，然后使用上个节点中占比最大的类做为最终的分类结果。

二十一、sklearn决策树分类算法应用

本节基于 Python Sklearn 机器学习算法库，对决策树这类算法做相关介绍，并对该算法的使用步骤做简单的总结，最后通过应用案例对决策树算法的代码实现进行演示。

1、决策树算法应用

在 sklearn 库中与决策树相关的算法都存放在sklearn.tree模块里，该模块提供了 4 个决策树算法，下面对这些算法做简单的介绍：

（1） .DecisionTreeClassifier()

这是一个经典的决策树分类算法，它提供了许多有用的参数，比如criterion，该参数有两个参数值，分别是 gini（基尼指数）和 entropy（信息增益），默认情况下使用“基尼指数”，其中“gini”用于创建 CART 分类决策树，而“entropy”用于创建 ID3 分类决策树。

注意：在其余三个决策树算法中都可以使用 criterion 参数。

（2） .DecisionTreeRegressor()

它表示用决策树算法解决回归问题。

（3） .ExtraTreeClassifier()

该算法属于决策树分类算法，但又不同于.DecisionTreeClassifier()算法，因为.ExtraTreeClassifier()选择“特征维度”作为判别条件时具有随机性，它首先从特征集合中随机抽取 n 个特征维度来构建新的集合，然后再从新的集合中选取“判别条件”。

（4）.ExtraTreeRegressor()

该算法同样具有随机性，它与.ExtraTreeClassifier()随机过程类似，它主要解决机器学习中的回归问题。

2、决策树实现步骤

通过前面内容的学习，我们已经大体掌握了决策树算法的使用流程。决策树分类算法的关键在于选择合适的“判别条件”，该判别条件会使正确的分类的样本“纯度”最高。想要选取合适的特征属性就需要使用“信息熵”与“信息增益”等计算公式。

（1） 确定纯度指标

确定纯度指标，用它来衡量不同“特征属性”所得到的纯度，并选取使得纯度取得最大值的“特征属性”作为的“判别条件”。

（2） 切分数据集

通过特征属性做为“判别条件”对数据集集合进行切分。注意，使用过的“特征属性”不允许重复使用，该属性会从特征集合中删除。

（3） 获取正确分类

选择特征集合内的特征属性，直至没有属性可供选择，或者是数据集样本已经完成分类为止。切记要选择占比最大的类别做为分类结果。

3、决策树算法应用

下面使用决策树算法对 Sklearn 库中的红酒数据进行模型训练，与数据预测，示例代码如下：

# 加载红酒数据集
from sklearn.datasets import load_wine
# 导入决策树分类器
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
# 导入分割数据集的方法
from sklearn.model_selection import train_test_split
# 导入科学计算包
import numpy as np

# 加载红酒数据集
wine_dataset=load_wine()

# 分割训练集与测试集
X_train,X_test,y_train,y_test=train_test_split(wine_dataset['data'],wine_dataset['target'],test_size=0.2,random_state=0)

# 创建决策时分类器--ID3算法
tree_model=DecisionTreeClassifier(criterion="entropy")
# 喂入数据
tree_model.fit(X_train,y_train)
# 打印模型评分
print(tree_model.score(X_test,y_test))

# 给出一组数据预测分类
X_wine_test=np.array([[11.8,4.39,2.39,29,82,2.86,3.53,0.21,2.85,2.8,.75,3.78,490]])
predict_result=tree_model.predict(X_wine_test)
print(predict_result)
print("分类结果：{}".format(wine_dataset['target_names'][predict_result]))

输出结果如下：

0.9166666666666666

[1]

分类结果：['class_1']

二十二、初识支持向量机SVM分类算法

支持向量机，英文全称“Support Vector Machines”（简称 SVM），它是机器学习中最常用的一种“分类算法”。SVM 是一种非常优雅的算法，有着非常完善的数学理论基础，其预测效果，在众多机器学习模型中可谓“出类拔萃”。在深度学习没有普及之前，“支持向量机”可以称的上是传统机器学习中的“霸主”，下面我们将介绍本节的主人公——支持向量机（SVM）。

1、初识支持向量机

支持向量机是有监督学习中最有影响力的机器学习算法之一，该算法的诞生可追溯至上世纪 60 年代， 前苏联学者 Vapnik 在解决模式识别问题时提出这种算法模型，此后经过几十年的发展直至 1995 年， SVM 算法才真正的完善起来，其典型应用是解决手写字符识别问题。

当我们第一次见到“支持向量机”这个名词时，一定会感到“懵圈”，单从这个名字来看，它就散发这非常神秘的气息，仿佛游戏中的必杀技一样，但真的像我们感觉到的一样吗？其实名字就是“拦路虎”，就像我们前面学习的“朴素贝叶斯”一样。支持向量机并非源于“人名”，但以我们现有的知识，我们只知道“向量”是什么，至于“支持向量机”是什么，您一定做不出任何有说服力的解释。

注意：支持向量机是一个比较“难”讲解的算法，需要理解大量的数学知识，否则只能雾里看花。在写作本文的过程中，我尽量本着通俗易懂的角度来讲解，但由于个人能力有限，以及读者群体不同，难免会众口难调，还请多多包含。同时，如果文章中有任何不妥之处，也请不吝赐教。

2、支持向量机组成

首先对支持向量机做一个直观的描述：支持向量机是一个分类器算法，主要用于解决二分类的问题，最终告诉我们一个样本属于 A 集合还是属于 B 集合，这和之前学习过的分类算法别无二致。

一个算法模型就好比一台精巧的机器，有许多零部件组成，支持向量机也是如此。对于支持向量机而言有三个重要构件，分别是：

• 最大间隔
• 高维映射
• 核函数

上述三者是 SVM 支持向量机的核心，三者之间彼此独立，又互相依存，如果缺少了其中任何一个部件，都不能驱动支持向量机这台“机器”，这三个部件也是后续介绍的核心知识，只有充分理解了它们，才能将得心应手的使用 SVM 算法。如果用一句话来总结这三个部件的作用，那就是“最大间隔是标尺，高维映射是关键，最终结论看核函数”。

3、支持向量机本质

支持向量机本质上是从在线性分类算法的基础上发展而来的，就如同已经学习过的 Logistic 逻辑回归算法一样，只需给线性函数“套”上一层 Logistic “马甲”，就可以用线性模型来解决离散数据的分类问题。对于支持向量机来说，要解决分类问题，其过程则更为复杂。下面剖析一下支持向量机的本质，从而帮助您更好的理解它的算法思想。

（1） 间隔和支持向量

支持像向量机算法中有一个非常重要的角色，那就是“支持向量”，支持向量机这个算法名字也由它而来（机，指的是“一种算法”），要想理解什么是“支持向量”就首先要理解“间隔”这一个词。

支持向量机中有一个非常重要的概念就是“间隔最大化”，它是衡量 SVM 分类结果是否最优的标准之一。下面通过“象棋”的例子来理解什么是“间隔”：

中国象棋是我国独有的一类娱乐活动，棋子分为黑子和红子，并用“楚河汉界”将其分开。如果用一条直线将不同颜色的棋子进行分类，这显然信手拈来，只需要在楚河汉界的空白附带画一条“中轴线”就能以最佳的方式将它们分开，这样就能保证两边距离最近的棋子保有充分的“间隔”。

上述示例中产生的“间隔”实际上是依据两侧不同颜色的棋子划分而成的，我们把这些棋子统称为“样本点”。虽然这些样本点都参与了分类，但对于分类效果影响最大的是处于间隔“边缘”的样本，只要将处于边缘的样本正确分类，那么这两个类别也就分开了，因此我们把处于边缘样本点称为“支持向量”。

（2） 软间隔和硬间隔

间隔，又分为软间隔和硬间隔，其实这很好理解，当我们使用直线分类时会本着尽可能将类别全都区分开来的原则，但总存在一些另类的“样本点”不能被正确的分类，如果您允许这样的“样本点存在”，那么画出的间隔就成为“软间隔”，反之态度强硬必须要求“你是你，我是我”，这种间隔就被称为“硬间隔”，在处理实际业务中，硬间隔只是一种理想状态。

（3） 最大间隔

上述所说的保有充分的“间隔”，其实就是“最大间隔”，你可能会问，为什么是最大间隔呢，两个类别只要能区分开不就行了吗？其实这涉及到算法模型最优问题，就像常时所说的一样，做事要给自己留有余地，不能将自己至于危险的边缘。

如果将数据样本分割的不留余地，就会对随机扰动的噪点特别敏感，这样就很容易破坏掉之前的分类结果，学术称为“鲁棒性差”，因此我们在分类时要尽可能使正负两类分割距离达到最大间隔。

4、支持向量机应用

支持向量机是一种使得样本点达到最佳分类效果的算法，但上述示例并非支持向量机的应用场景，通过上述示例我们只是知道了“什么是间隔”以及什么是“支持向量”，那支持向量应用场景到底是怎么的呢？通过下面形象化的描述，您也许能体会到 SVM 的强大之处：

当对弈双方在下棋之前，需要将散落在棋盘上的棋子放在各自的位置上，此时这些棋子并非按照颜色排列在“楚河汉界”两边，而是“杂乱无章”的放在棋盘上，那么如何快速地将这些棋子分呢？你应该如何做呢？当然你也许会想到用手一个个的挑出来，但是这里的棋子只是类比数据样本点，在实际的业务中你可能面对的是成千上亿的数据样本，要想解决这个问题，支持向量机就派上了用场。

如果用画“直线”的方法，一定不能解决上述问题，因此简单粗暴的线性函数“貌似”派不上用场，那么到低如果解决呢？

我们不妨回忆一下 Logistic 回归分类算法，通过给线性函数“套”上一层 Logistic 函数就解决了离散数据的分类问题，SVM 能否按照同样的思维方式来解决呢，答案是肯定的。

支持向量机类似于逻辑回归，这个模型也是基于线性函数  wTx + b 的，不同于逻辑回归的是，支持向量机不输出概率，只是输出类别。

当 wTx + b 为正时，支持向量机预测属于正类；而当 wTx + b 为负时，支持向量机预测属于负类。当然，在判断类别的过程中还要用到 SVM 的另外两个重要部件，也就是“高维映射”和“核函数”，否则无法实现利用线性函数解决分类问题，至于是如何解决的，后续知识会做详细讲解。

注意：上述示例中“棋子”只是形象化的比喻，在具体的业务中，我们处理的是“数据样本点”

5、总结

本节初步认识了“支持向量机（SVM）算法”，了解了组成支持向量机的三个重要部件。通过对支持向量机本质的讲解，我们知道支持向量机是从线性函数的基础上发展而来的，因此我们可以得出，支持向量机（SVM）是一种利用线性函数解决线性不可分（分类）问题的算法。

二十三、SVM解决线性不可分问题

通过上一节的学习，我们知道 SVM 是一种用来解决性线性不可分问题的算法，那它到底是如何解决的呢？在本节我们将对其做出详细的解释。

1、让棋子飞起来

首先我们来回味一下二十二、《初识支持向量机SVM分类算法》一节提到的案例：

在一个棋盘上杂糅的摆放着黑白两种棋子，要求我们以最快的速度将它们各自分开，这时我们应该如何做呢？也许喜欢金庸武侠的小伙伴已经想到了答案。

假如你是一位拥有深厚内力的大侠，你直接可以拍盘而起，让棋子们飞起来，同时让黑子飞高一点，白子则相对低一些，这样平面无法线性区分的分类问题，瞬间成了在立体空间内使之分类，此时你以迅雷不及掩耳之势，在它们分开的间隔内插上一张薄纸，就可以轻易地将黑、白两种棋子分开。

注意：上述示例只是类比，示例中的棋子，也只是一个个“样本点”。

回到现实世界中我们只是普通人，并非武侠小说中的大侠，因此不能凭借内力让棋子飞起来。既然不能用内力来解决问题，那么我们应该如何做呢？下面回归到本节的主题——支持向量机，它也是一本武功秘籍，掌握了它，同样可以让“棋子”飞起来。下面就一起来看看支持向量机是如何让“棋子”飞起来的”。

2、SVM高维映射

宋朝的苏轼有诗云“横看成岭侧成峰，远景高低各不同，不识庐山真面目，只缘身在此山中”诗的前两句指的从不同的角度看待一个事物会得到不一样的结果，用这句诗来引出的“高维映射”这个概念再合适不过了。

支持向量机的三大核心构件分别是最大间隔、高维映射以及核函数，高维映射则是支持向量机的第二个核心构件。我们知道线性分类器最大的特点就是简单，说白了就是“一根筋”，当面对非线性分类问题时不知变通，因此就需要帮助它疏通一下，就像解决 Logostic 逻辑回归问题一样，高维映射就是我们要寻找的方法。

（1） 超平面

高维映射主要是用来解决“你中我，我中有你”的分类问题的，也就是前面所说的“线性不可分问题”，所谓高维映射就是站在更高的维度来解决低维度的问题。

我们都知道点线面可以构成三维立体图，比如棋子是棋盘上的“点"，“间隔”是棋盘上的一条线，棋盘则是一个“面”，而当我们拍盘而起，棋子飞升就会形成一个多维的立体空间，示意图如下：

图1：超平面示意图

如图所示经过高维映射后，二维分布的样本点就变成了三维分布，而那张恰好分开棋子的纸（图 1 呈现绿色的平面），  SVM 统称其为“超平面”。

通过增加一个维度的方法（给平面增加一个高度，使其变成三维空间），解决“线性不可分的问题”。在上述过程中仍存在一些问题会令你困惑，比如为什么映射到高维后就一定能保证正负类分开，还有一个更令人挠头的问题，这个高维空间应该如何找呢，以及在新的空间中，原有的数据点的位置是如何确定的呢？要想知道答案，不妨继续往下读。

3、SVM核函数

要想解决上述问题，就必须要了解支持向量机的另外一个重要部件——核函数（Kernel Function）。

核函数是一类功能性函数，类似于 Logistic 函数。SVM 规定，只要能够完成高维映射功能的数学函数都称为“核函数”，它在支持向量机中承担着两项任务，一是增加空间的维度，二是完成现有数据从原空间到高维空间的映射。接下来对其做详细的介绍。

首先我们再次强调 SVM 是一种使用线性方法来处理线性不可分问题的算法。明确了这一点，下面再来看一个实例说明，对于 “你中有我，我中有你”这句话来说，最为经典的案例，当属一类数据包围了另外一类数据。如下图 2 所示：

深蓝色的的球，被另外一种淡蓝色的球体包裹住了，在这种情况下，任何一条直线都不能将它们分开，因此就无法使用线性函数直接实现类别划分。

图2：SVM核函数应用

现在我们变通一下使用高维映射的思维来解决一下，看看能否找到解决问题的突破口。

接下来，我们将深蓝色的数据点全部映射到一个三维空间内，使之与浅蓝色的数据点形成高度差，这样就可以使用线性函数完成不同样本点的分类了，就如同倒扣的漏斗，深蓝色的数据点全部集中与上方，而浅蓝色的则分布在漏斗底部，此时可以用一个平面（此处平面就是超平面）将它们分开，如图 3 所示中间的分割线。

图3：SVM高维映射

上述高维映射过程是通过核函数（或称映射函数）来实现的，通过这个函数就可以找到一个三维空间，并确定数据点分布，至于能否保证样本点完全分开，这也是由核函数决定的。那么这个核函数要怎么确定呢，这就要通过实际案例的分析、运算才能得到。

在 Pyhthon Sklearn 库提供了多种核函数，使用不同的核函数会对最终的分类效果带来不同程度影响，因此要选择使得分类效果最优的核函数。

因此高维映射和核函数看似是两个分开的部件，其实是一个整体，高维映射的核心就是“核函数”。更通俗地讲，高维映射只是一种指导思想，而核函数才是具体实践者。

4、总结

通过这两节的学习，我们认识了 SVM 重要组部分间隔最大化和高维映射（将它与核函数看做一体），下面对已经学习的知识做简单总结：

SVM 算法是用来解决线性不可分的“非线性”问题， 从而突破线性分类的局限性，使得线性分类器依然可以适用于“非线性”问题。在这个过程中起到关键作用的就是“高维映射”。而“间隔最大化”可以看做支持向量机的损失函数，它衡量分类效果是否最佳的“标尺”，让间隔达到最大就是 SVM 追求的至臻境界，要实现这个目标就要不断地训练模型，使模型的泛化能力最佳。

最后对 SVM 算法进行分类的大致过程进行总结，大致分为以下三步：

• 选取一个合适的数学函数作为核函数；
• 使用核函数进行高维映射，解决样本点线性不可分的问题；
• 最后用间隔作为度量分类效果的损失函数，找到使间隔最大的超平面，最终完成分类的任务。

二十四、从数学角度理解SVM分类算法

本节将从数学角度讲解支持向量机（SVM）相关知识，掌握这些有利用加深对 SVM 算法原理的理解，对于学习任何一款机器学习算法都是非常有帮助的，虽然各种数学公式很难懂，但本人会尽最大努力去讲明白。尽管如此由于每位读者的数学基础不一样，如有表达不到位的地方，还请海涵。

1、再谈间隔最大化

我们知道，支持向量机是以“间隔”作为损失函数的，支持向量机的学习过程就是使得间隔最大化的过程，若想要了解支持向量机的运转机制，首先就得知道间隔怎么计算。

“间隔大小”是由距离分类“界限”最近的两个数据点（即支持向量）决定的。支持向量机对“间隔”的定义非常简单，即处于最边缘的支持向量（样本点）到超平面距离的总和，这里所说的距离就是最常见的几何距离。如果我们用 wx+b 来表示超平面，那么点到三维平面的距离公式如下：

由此也可以推断出点到 N 平面的通式，如下所示：

注意：上述公式中被除数是分子，除数是 L2 范式的简要写法，当 i = 3 时，与上述点到三维平面的距离公式相同。

支持向量机算法使用 y =1 来表示正类的分类结果；使用 y = -1 来表示负类结果，所以 y =  wx+b 要么是大于或者等于 1，要么小于或等于 -1，由此得出间隔距离也可以表示如下：

上述距离公式中被除数是 2 （常数），而我们的目的是要求间隔最大化距离，因此式子转换如下：

即求 max 1/||w|| 的最大值。此处需要注意，其中 s.t. 表示受约束的（即在某种条件下），上述公式要使左边式子最大，就要使分母越小，因为此处的分子是不变（常数），所以可将上述表达式转换为下列式子：

下面使用“拉格朗日乘子法”对上述表达式进一步转换：

上述公式中，α 被称为“拉格朗日乘子”，然后分别对上式子中的 w 和 b 求导，并令导数为 0，右侧的公式可表示为：

这时就转变成如何求极值的问题：

注意上式中的  xiTxj 是一组向量的内积运算，该式子的约束条件为：

通过拉格朗日乘子法和 SMO（二次规划算法）算法，求出的最大间隔。

注意：拉格朗日乘子算法（以数学家 Joseph-Louis Lagrange 的名字命名）是一种多元函数在其变量受到一个或多个条件的约束时求极值方法。 这种方法可以将一个有 n 个变量与 k 个约束条件的最优化问题转换为一个解有 n + k 个变量的方程组的解的问题。关于拉格朗日乘子算法不做过多介绍，如感兴起可点击前往进行了解。

上述过程中涉及了大量数学概念和的数学运算，这些知识理解起来会比较繁琐，需要慢慢消化，甚至需要您恶补一些数学知识。如果实在看不懂，建议跳过，毕竟这些知识不会影响您使用支持向量机算法。

2、再谈核函数

高维映射说白了就是一种函数映射，在支持向量机中通常采用符号φ来表示这个函数，比如向量 xi 经过高维映射后就变成了  φ(xi)，依次类推超平面的表达式如下所示：

在求解间隔最大化时，我们使用了拉格朗日函数，转化后的式子涉及了向量的内积运算，那么经过核函数映射后的内积运算为：

映射后向量变成高维向量，运算量将明显增加，直接运算会导致效率明显下降。不过，在间隔最大化的运算中只使用了高维向量内积运算的结果，并没有单独使用高维向量，也就是说，如果能简单地求出高维向量的内积，那么也可以满足求解间隔最大化的条件。下面假设存在函数 K，能够满足下列条件：

这里的函数 K 就是我们前面所讲的核函数。有了核函数，所有涉及的内积运算到的表达式，都可以通过 K 函数求解得出。

注意：对于已知的映射函数 φ，核函数是很容易计算的，但在大多数情况下，我们并不知道映射函数 φ 的具体形式，好在伟大的数学家们已经证明，在无法得出 φ 时，只要数学函数满足几个相应条件，同样可以将其作为核函数，因此不用担心找不到核函数。

下一部分将在Python机器学习算法入门教程（第五部分）展开描述。