1.线性表的定义

线性表是具有相同数据类型的n (n>=0）个数据元素的有限序列，其中n为表长，当n = 0时线性表是一个空表。
若用L命名线性表，则其一般表示为$L=(a1,a2,...,a_i,a_{i+1},...,an)$

1.几个重要的概念

$a_i$是线性表中的“第i个”元素线性表中的位序
注意：位序从1开始，数组下标从0开始。
$a_1$是表头元素;
$a_n$是表尾元素。
除第一个元素外，每个元素有且仅有一个直接前驱;
除最后一个元素外，每个元素有且仅有一个直接后继.

2.逻辑结构

2.线性表的基本操作

“&”符号的作用：对参数的修改结果带回主函数。

①InitList(&L)：初始化表。构造一个空的线性表L，分配内存空间。
②DestroyList(&L)：销毁操作。销毁线性表，并释放线性表L所占用的内存空间。
③ListInsert(&L,i,e)：插入操作。在表L中的第i个位置上插入指定元素e.
④ListDelete(&L,i,&e)：删除操作。删除表L中第i个位置的元素，并用e返回删除元素的值。
⑤LocateElem(L,e)：按值查找操作。在表L中查找具有给定关键字值的元素。
⑥GetElem(L,i)：按位查找操作。获取表L中第i个位置的元素的值。
⑦Length(L)：求表长。返回线性表L的长度，即L中数据元素的个数。
⑧PrintList(L)：输出操作。按前后顺序输出线性表L的所有元素值。
⑨Empty(L)：判空操作。若L为空表，则返回true，否则返回false。

3.顺序表（线性表的顺序存储）

顺序表：用顺序存储的方式实现线性表。
顺序存储：把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中，元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。
顺序表的实现方式：静态分配和动态分配。

1.静态分配

存储空间是静态的。
使用“静态数组”实现，大小一旦确定就无法改变。

2.动态分配

C语言中提供malloc和free函数来动态申请和释放内存空间。
使用动态数组实现。

3.顺序表的特点

①随机访问，即可以在（O1）时间内找到第i个元素。
②存储密度高，每个节点只存储数据元素。
③拓展容量不方便（即便采用动态分配的方式实现，拓展长度的时间复杂度也比较高)
④插入、删除操作不方便，需要移动大量元素。

4.顺序表的基本操作

1.插入

①最好情况:新元素插入到表尾，不需要移动元素。
$i=n+1$，循环0次;最好时间复杂度=O(1)
②最坏情况:新元素插入到表头，需要将原有的n个元素全都向后移动。
$i=1$，循环n次;最坏时间复杂度= O(n);
③平均情况:假设新元素插入到任何一个位置的概率相同，
即$i=1,2,3,..,length+1的概率都是p=\frac{1}{n+1}$
平均循环次数= $\frac{n(n+1)}{2}\frac{1}{n+1}=\frac{n}{2}$，平均时间复杂度= O(n)

2.删除

①最好情况：删除表尾元素，不需要移动其他元素。
i = n，循环0次;最好时间复杂度=O(1)
②最坏情况：删除表头元素，需要将后续的n-1个元素全都向前移动。
i = 1，循环n-1 次;最坏时间复杂度= O(n);
③平均情况：假设删除任何一个元素的概率相同，即$i=1,2,3,...,length$的概率都是$p=\frac{1}{n}$
平均循环次数 = $\frac{n(n-1)}{2}\frac{1}{n}=\frac{n-1}{2}$，平均时间复杂度= O(n)

3.查找

1.按位查找

GetElem(L,i)：按位查找操作。获取表L中第i个位置的元素的值。
由于顺序表的各个数据元素在内存中连续存放，因此可以根据起始地址和数据元素大小立即找到第i个元素：“随机存取”特性。
时间复杂度为O（1）

2.按值查找

LocateElem(L,e)：按值查找操作。在表L中查找具有给定关键字值的元素。
①最好情况:目标元素在表头，循环1次;最好时间复杂度=O(1)
②最坏情况:目标元素在表尾，循环n 次;最坏时间复杂度= O(n);
③平均情况:假设目标元素出现在任何一个位置的概率相同，都是$\frac{1}{n}$，平均循环次数=$\frac{n(n+1)}{2}\frac{1}{n}=\frac{n+1}{2}$
平均时间复杂度= O(n)

4.链表（线性表的链式存储）

1.单链表

单链表由一个一个结点组成，每个结点除了存放数据元素外，还要存储指向下一个节点的指针。
优点：不要求大片连续空间，改变容量方便。
缺点：不可随机存取，要耗费一定空间存放指针。

1.代码实现

强调这是一个单链表：使用$LinkList$
强调这是一个结点：使用$LNode\ast$

2.带头结点的实现

头指针本身不存储数据，数据域为空，只有他指向的下一个结点开始存储数据。

3.不带头结点的实现

不带头结点，写代码更麻烦。
对第一个数据结点和后续数据结点的处理需要用不同的代码逻辑，对空表和非空表的处理需要用不同的代码逻辑。

4.按位序插入

Listlnsert(&L,i,e):插入操作。在表L中的第i个位置上插入指定元素e。
①带头结点

平均时间复杂度：O（n）
②不带头结点

5.指定结点的后插操作

6.指定结点的前插操作

①使用带头指针的链表，循环查找元素的前驱，再对元素前驱进行后插操作。
时间复杂度为O（n）
②将新增结点复制为需要进行前插操作的结点，再将待插入的数据的数据域复制给当前结点，连接两个结点即可。

时间复杂度为O（1）

7.按位序删除

ListDelete(&L,i,&e):删除操作。删除表L中第i个位置的元素，并用e返回删除元素的值。
找到第i-1个结点,将其指针指向第i+1个结点,并释放第i个结点。

①带头结点

最环、平均时间复杂度：O(n)
最好时间复杂度：O(1)

8.指定结点的删除

删除结点p，需要修改其前驱结点的next指针,
方法1:传入头指针，循环寻找p的前驱结点
方法2:偷天换日（类似于结点前插的实现)

时间复杂度为O（1），但如果p为最后一个结点时会存在空指针问题。

9.按位查找

平均时间复杂度为O(n).

10.按值查找

平均时间复杂度为：O(n)

11.求表的长度

平均时间复杂度为：O(n)

2.单链表的建立

1.尾插法

时间复杂度：O(n)
要设置一个指向表尾结点的指针。

2.头插法

应用：链表的逆置。

3.双链表

1.初始化

增加了一个指向前驱的指针域。

2.插入

3.删除

4.遍历

双链表不可随机存取，按位查找，按值查找操作都只能用遍历的方式实现。
时间复杂度O(n)

4.循环链表

1.循环单链表

表尾结点的next指针指向头结点。
从一个结点出发可以找到其他任何一个结点。

1.初始化

2.基本操作

①从头结点找到尾部,时间复杂度为O(n)
②从尾部找到头部,时间复杂度为O(1)
③很多时候对链表的操作都是在头部或尾部，可以让L指向表尾元素(插入、删除时可能需要修改L)。

2.循环双链表

表头结点的prior指向表尾结点。
表尾结点的next指向头结点。

1.初始化

2.基本操作

①插入

②删除

5.静态链表

1.定义

静态链表:分配一整片连续的内存空间，各个结点集中安置。
静态链表:用数组的方式实现的链表。

优点:增、删操作不需要大量移动元素
缺点:不能随机存取，只能从头结点开始依次往后查找。
容量固定不可变。
适用场景:
①不支持指针的低级语言;
②数据元素数量固定不变的场景（如操作系统的文件分配表FAT)

2.代码实现

3.基本操作

①查找
从头结点出发挨个往后遍历结点。时间复杂度为O（n）

②插入
找到一个空的结点，存入数据元素
从头结点出发找到位序为i-1的结点
修改新结点的next
修改i-1号结点的next

③删除
从头结点出发找到前驱结点
修改前驱结点的游标
被删除结点next设为-2

5.顺序表和链表的对比

1.逻辑结构

都属于线性表，都是线性结构

2.存储结构

①顺序表（顺序存储）
优点:支持随机存取、存储密度高。
缺点:大片连续空间分配不方便，改变容量不方便。

②链表（链式存储）
优点:离散的小空间分配方便，改变容量方便。
缺点:不可随机存取，存储密度低。

3.基本操作

1.创建

①顺序表
需要预分配大片连续空间。
若分配空间过小，则之后不方便拓展容量;
若分配空间过大，则浪费内存资源。
②链表
只需分配一个头结点(也可以不要头结点，只声明一个头指针），之后方便拓展。

2.销毁

①顺序表
修改Length=0
系统自动回收空间

②链表
依次删除各个结点（ free )
需要手动free

3.增删

①顺序表
插入/删除元素要将后续元素都后移/前移
时间复杂度O(n）
时间开销主要来自移动元素
若数据元素很大，则移动的时间代价很高

②链表
插入/删除元素只需修改指针即可
时间复杂度o(n)
时间开销主要来自查找目标元素
查找元素的时间代价更低

4.查找

①顺序表
按位查找:O(1)
按值查找:O(n)若表内元素有序，可在$O(lo{g}_{2}n)$时间内找到

②链表
按位查找:O(n)
按值查找:O(n)

4.选择

表长难以预估、经常要增加/删除元素—―链表。
表长可预估、查询（搜索）操作较多――顺序表。