特征向量与特征值
- 什么是特征向量
- 三维空间的旋转
- 矩阵和线性变换
- 特征向量
- 二维线性变换不一定有特征向量
- 一个特征值可能不止一个特征向量
- 特征基
这是关于3Blue1Brown "线性代数的本质"的学习笔记。
什么是特征向量
线性变换过程中，大多数向量离开了其自己张成的空间（也就是通过原点和向量尖端的直线），不过，有些向量的确留在了其张成的空间，这意味着矩阵对它的作用仅仅是拉伸或压缩而已，这些特殊的向量就是变换的特征向量；每个特征向量都有一个相关的值，被称为特征值，这个值是衡量变换中拉伸或压缩比例的因子。
负的特征值意味着线性变换使得空间发生了翻转，而特征向量停留在它张成的直线上，并未发生旋转。
三维空间的旋转
矩阵和线性变换
对于任意一个线性变换，矩阵的列是变换后的基向量。
对于线性变换，较少用坐标系来理解它，更好的方法是求出它的特征向量和特征值。
特征向量
求解矩阵A的特征向量和特征值，就是求解使得这个等式成立的向量 v ⃗ \vec{v} v和数 λ \lambda λ。
为了求解图4中的特征向量和特征值，可以对其做变换：
A
v
⃗
=
λ
v
⃗
(
A
−
λ
I
)
v
⃗
=
0
⃗
\begin{aligned} A\vec{v}=\lambda\vec{v} \\ (A-\lambda I)\vec{v}=\vec{0} \end{aligned}
Av=λv(A−λI)v=0
对于上式的求解，可以求：
d
e
t
(
A
−
λ
I
)
=
0
det(A-\lambda I)=0
det(A−λI)=0
由前面学习的行列式知识我们知道，当且仅当矩阵代表的变换将空间压缩到更低的维度时，其矩阵的行列式为零，也就存在一个非零向量，使得矩阵和它的乘积为零向量。
如图5所示，假设有一个矩阵，列为 [ 2 , 1 ] T [2,1]^{T} [2,1]T和 [ 2 , 3 ] T [2,3]^{T} [2,3]T，考虑每个对角元素都减去某个变量 λ \lambda λ，想象一下，逐渐调整 λ \lambda λ的值。当 λ \lambda λ的值改变时，矩阵本身发生改变，因此行列式也在改变。我们的目标在于找一个 λ \lambda λ使得这个行列式为零。也就是调整后的变换将空间压缩到一个更低的维度上。在这个例子中， λ \lambda λ等于1时恰到好处。
即，当 λ \lambda λ等于1时，A减去 λ \lambda λ乘以单位阵将空间压缩到一条直线上。这意味着存在一个非零向量 v ⃗ \vec{v} v，使得A减去 λ \lambda λ乘以单位阵的结果乘以 v ⃗ \vec{v} v等于零向量。
也就是说向量
v
⃗
\vec{v}
v是A的一个特征向量。
二维线性变换不一定有特征向量
旋转90°的线性变换没有特征向量，因为每个向量都发生了旋转并离开了其张成的空间。
而且如果要求特征值的话，也一定无实数解，如图10所示。
一个特征值可能不止一个特征向量
一个简单的例子就是将所有向量拉伸2倍的线性变换，其变换矩阵如下：
[
2
0
0
2
]
\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}
[2002]
这个变换的唯一特征值是2，但平面内每个向量都属于这个特征值的特征向量。因为每个向量在变换后都没有离开其张成的空间。
特征基
如果我们的基向量恰好是特征向量，会发生什么？
比如说，将
i
⃗
\vec{i}
i变为原来的-1倍，
j
⃗
\vec{j}
j变为原来的2倍，这个变换对应的矩阵为
[
−
1
0
0
2
]
\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}
[−1002]
注意：它们的倍数-1和2，也就是
i
⃗
\vec{i}
i和
j
⃗
\vec{j}
j的特征值，位于矩阵的对角线上，而其余元素均为0。除了对角元素以外其他元素均为0的矩阵被称为对角矩阵，其所有基向量都是特征向量，矩阵的对角元素就是它们所属的特征值。
