数据结构：AVL树讲解（C++）

news2024/11/28 5:43:59

AVL树

    • 1.AVL树的概念
    • 2.平衡因子
    • 3.节点的定义
    • 4.插入操作
    • 5.旋转操作（重点）
      • 5.1左单旋
      • 5.2右单旋
      • 5.3左右双旋
      • 5.4右左双旋
    • 6.一些简单的测试接口
    • 7.完整代码

1.AVL树的概念

普通二叉搜索树：二叉搜索树

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序普通的二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法(AVL树是以这两位的名字命名的)：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1，超过了需要对树中的结点进行调整(旋转)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

AVL树也是二叉搜索树，但有以下特点：

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
  • 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2​n)，搜索时间复杂度O( l o g 2 n log_2 n log2​n)。



2.平衡因子

AVL树的实现有很多种，本文引入平衡因子来维持高度稳定。
本文平衡因子的定义：右子树高度 - 左子树的高度。

依据每个节点的平衡因子，我们可以判断树的情况：

  • 平衡因子在(-1, 0, 1)，当前节点所在子树是稳定的。
  • 平衡因子为2或-2，当前节点所在子树是不稳定的。

插入节点后平衡因子的更新：

  • 插入节点在右子树，平衡因子加一。
  • 插入节点在左子树，平衡因子减一。

插入节点后平衡因子的不同情况（重点）：

  • 当前节点所在子树平衡因子为0，子树高度不变，不需要更新
    （原来一边高一边低，新插入在低一方，变成完全平衡）。
  • 当前节点所在子树平衡因子为1或-1，子树高度变化，需要向上更新。
    （原来完全平衡，现在一边高，子树整体高度加1，会影响到祖先的平衡，故需要向上更新看祖先所在子树是否平衡）
  • 当前节点所在子树平衡因子为2或-2，子树高度变化且不平衡，无需向上更新，对当前子树进行旋转操作。
    （当前子树已不平衡，向上更新没有意义，旋转操作是AVL树的核心，可以降低当前子树的高度且不影响上面的树结构）

在这里插入图片描述



3.节点的定义

节点除了需要增加一个平衡因子，还需要增加一个父亲指针，方便我们进行平衡因子的向上更新和旋转操作。

template<class K, class V>
struct ALVTreeNode
{
	ALVTreeNode<K, V>* _left;
	ALVTreeNode<K, V>* _right;
	ALVTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;  //存储键值对
	int _bf;  //平衡因子
	ALVTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
		,_kv(kv)
	{}
};



4.插入操作

PS：因为多加了一个父亲指针，所以插入时要注意更新父亲指针，平衡因子更新按前面的分析来还是比较简单的，旋转操作后面单独讲。

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr) //一开始为空树，直接插入即可
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}

	//找插入位置加插入
	Node* cur = _root;  //记录插入位置
	Node* parent = nullptr;  //待插入位置的父亲
	while (cur)
	{
		if (kv.first > cur->_kv.first)  //待插入节点在右子树
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (kv.first < cur->_kv.first)  //待插入节点在左子树
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else  //待插入节点已存在
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(kv);
	if (kv.first > parent->_kv.first)  //插入在父亲的右边
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else  //插入在父亲的左边
	{
		parent->_left = cur;
	}
	cur->_parent = parent;  //注意更新父亲指针

	//调整平衡因子
	while (parent)  //是有可能调整到根部的
	{
		if (cur == parent->_right)  //如果新插入的在右子树
		{
			parent->_bf++;
		}
		else if (cur == parent->_left)  //如果新插入的在左子树
		{
			parent->_bf--;
		}

		if (parent->_bf == 0) //插入后高度不变
		{
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)  //插入后高度变化，但当前子树依然平衡，需要向上更新
		{
			parent = parent->_parent;
			cur = cur->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)  //插入后高度变化，并且当前子树已经不平衡,旋转
		{
			//旋转操作（先省略）
			break;
		}
		else //存在大于2小于-2的情况，树原来就不平衡，应该报错
		{
			assert(false);
		}
	}
	return true;
}



5.旋转操作（重点）

5.1左单旋

主体思想：

在这里插入图片描述


平衡因子的调整：
在这里插入图片描述


代码加细节处理：

在这里插入图片描述

void RotateL(Node* parent)  //左单旋,rotate->旋转
{
	Node* SubR = parent->_right;
	Node* SubRL = SubR->_left;  //这个有可能为空
	Node* ppnode = parent->_parent;  //原来父亲的父亲

	parent->_right = SubRL;
	if(SubRL)  SubRL->_parent = parent;

	SubR->_left = parent;
	parent->_parent = SubR;

	if (ppnode == nullptr)  //旋转的是整颗树
	{
		_root = SubR;
		SubR->_parent = nullptr;
	}
	else  //旋转的是部分
	{
		if (ppnode->_left == parent) //是左子树
		{
			ppnode->_left = SubR;
		}
		else  //是右子树
		{
			ppnode->_right = SubR;
		}
		SubR->_parent = ppnode;
	}
	//最后更新平衡因子
	parent->_bf = SubR->_bf = 0;
}

5.2右单旋

PS：右单旋和左单旋类似，细节处理也差不多，这里只讲主体思路。
主体思路：
在这里插入图片描述

平衡因子的调整：
在这里插入图片描述

代码：

void RotateR(Node* parent)  //右单旋细节处理和左单旋差不多
{
	Node* SubL = parent->_left;
	Node* SubLR = SubL->_right;  //这个有可能为空
	Node* ppnode = parent->_parent;

	parent->_left = SubLR;
	if(SubLR)  SubLR->_parent = parent;

	SubL->_right = parent;
	parent->_parent = SubL;

	if (ppnode == nullptr)  //旋转的是整颗树
	{
		_root = SubL;
		SubL->_parent = nullptr;
	}
	else  //旋转部分
	{
		if (ppnode->_left == parent)  //是左子树
		{
			ppnode->_left = SubL;
		}
		else  //右子树
		{
			ppnode->_right = SubL;
		}
		SubL->_parent = ppnode;
	}
	//最后更新平衡因子
	parent->_bf = SubL->_bf = 0;
}

5.3左右双旋

PS：双旋其实就是两次单旋(复用即可)，有前面的基础很好理解，重点在于旋转后平衡因子的更新。

旋转思路：
在这里插入图片描述

平衡因子的调整：
想知道平衡因子调整是那种情况，我们需要在旋转前记录SubRL的平衡因子bf：

  • bf为0是第一种情况。
  • bf为1是第二种情况。
  • bf为-1是第三种情况。

在这里插入图片描述

代码：

void RotateLR(Node* parent)  //左右双旋
{
	Node* SubL = parent->_left;
	Node* SubLR = SubL->_right;
	int bf = SubLR->_bf;

	RotateL(SubL);
	RotateR(parent);

	if (bf == 1) //插入的是右边
	{
		SubLR->_bf = 0;
		SubL->_bf = -1;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1) //插入的是左边
	{
		SubLR->_bf = 0;
		SubL->_bf = 0;
		parent->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 0) //刚好原来parent的左边就两个节点
	{
		SubLR->_bf = SubL->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	else  //原来就不是平衡树，出现问题
	{

		assert(false);
	}
}

5.4右左双旋

PS：右左双旋和左右双旋思路是差不多的，重点还是在旋转后平衡因子的更新。

旋转思路：
在这里插入图片描述

平衡因子的调整：
和前面一样，旋转前确认SubRL的平衡因子bf即可。
在这里插入图片描述

代码：

void RotateRL(Node* parent)  //右左双旋
{
	Node* SubR = parent->_right;
	Node* SubRL = SubR->_left;
	int bf = SubRL->_bf;

	RotateR(SubR);
	RotateL(parent);

	if (bf == 1)  //插入的是右边
	{
		SubRL->_bf = 0;
		SubR->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1) //插入的是左边
	{
		SubRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
		SubR->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 0)  //原来parent的右边就两个节点
	{
		SubRL->_bf = SubR->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	else //原来就有问题
	{
		assert(false);
	}
}



6.一些简单的测试接口

int Height()
{
	return _Height(_root);
}

int _Height(Node* root)  //求高度的
{
	if (root == nullptr)
		return 0;

	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);

	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

bool IsBalance()
{
	return IsBalance(_root);
}

//看当前树是不是平衡树
//（1）看每个子树是否满足左右子树高度差不超过一
//（2）看平衡因子和所求的左右子树高度差是否一致
bool IsBalance(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return true;

	int leftHight = _Height(root->_left);
	int rightHight = _Height(root->_right);

	if (rightHight - leftHight != root->_bf)
	{
		cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << "->" << root->_bf << endl;
		return false;
	}

	return abs(rightHight - leftHight) < 2
		&& IsBalance(root->_left)
		&& IsBalance(root->_right);
}



7.完整代码

#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <utility>
using namespace std;

template<class K, class V>
struct ALVTreeNode
{
	ALVTreeNode<K, V>* _left;
	ALVTreeNode<K, V>* _right;
	ALVTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;  //存储键值对
	int _bf;
	ALVTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
		,_kv(kv)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
public:
	typedef ALVTreeNode<K, V> Node;

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr) //一开始为空树，直接插入即可
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* cur = _root;  //记录插入位置
		Node* parent = nullptr;  //待插入位置的父亲
		while (cur)
		{
			if (kv.first > cur->_kv.first)  //待插入节点在右子树
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (kv.first < cur->_kv.first)  //待插入节点在左子树
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else  //待插入节点已存在
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		if (kv.first > parent->_kv.first)  //插入在父亲的右边
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else  //插入在父亲的左边
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		//调整平衡因子
		while (parent)  //是有可能调整到根部的
		{
			if (cur == parent->_right)  //如果新插入的是右子树
			{
				parent->_bf++;
			}
			else if (cur == parent->_left)  //如果新插入的是左子树
			{
				parent->_bf--;
			}

			if (parent->_bf == 0) //插入后高度不变
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)  //插入后高度变化，但当前子树依然平衡，需要向上更新
			{
				parent = parent->_parent;
				cur = cur->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)  //插入后高度变化，并且当前子树已经不平衡,旋转
			{
				//旋转
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)  //左单旋
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) //右单旋
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)  //左子树的右边高，左右双旋
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)  //右子树的左边高，右左双旋
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else  //原来就不是平衡树
				{
					assert(false);
				}
				break;
			}
			else //树原来就不平衡，应该报错
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

	/
	
	///
	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	int _Height(Node* root)  //求高度的
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	bool IsBalance()
	{
		return IsBalance(_root);
	}

	//看当前树是不是平衡树
	//（1）看每个子树是否满足左右子树高度差不超过一
	//（2）看平衡因子和所求的左右子树高度差是否一致
	bool IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		int leftHight = _Height(root->_left);
		int rightHight = _Height(root->_right);

		if (rightHight - leftHight != root->_bf)
		{
			cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << "->" << root->_bf << endl;
			return false;
		}

		return abs(rightHight - leftHight) < 2
			&& IsBalance(root->_left)
			&& IsBalance(root->_right);
	}

private:
	void RotateL(Node* parent)  //左单旋,rotate->旋转
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;  //这个有可能为空
		Node* ppnode = parent->_parent;  //原来父亲的父亲

		parent->_right = SubRL;
		if(SubRL)  SubRL->_parent = parent;

		SubR->_left = parent;
		parent->_parent = SubR;

		if (ppnode == nullptr)  //旋转的是整颗树
		{
			_root = SubR;
			SubR->_parent = nullptr;
		}
		else  //旋转的是部分
		{
			if (ppnode->_left == parent) //是左子树
			{
				ppnode->_left = SubR;
			}
			else  //是右子树
			{
				ppnode->_right = SubR;
			}
			SubR->_parent = ppnode;
		}
		//最后更新平衡因子
		parent->_bf = SubR->_bf = 0;
	}

	void RotateR(Node* parent)  //右单旋细节处理和左单旋差不多
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;  //这个有可能为空
		Node* ppnode = parent->_parent;

		parent->_left = SubLR;
		if(SubLR)  SubLR->_parent = parent;

		SubL->_right = parent;
		parent->_parent = SubL;

		if (ppnode == nullptr)  //旋转的是整颗树
		{
			_root = SubL;
			SubL->_parent = nullptr;
		}
		else  //旋转部分
		{
			if (ppnode->_left == parent)  //是左子树
			{
				ppnode->_left = SubL;
			}
			else  //右子树
			{
				ppnode->_right = SubL;
			}
			SubL->_parent = ppnode;
		}
		//最后更新平衡因子
		parent->_bf = SubL->_bf = 0;
	}

	void RotateLR(Node* parent)  //左右双旋
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;
		int bf = SubLR->_bf;

		RotateL(SubL);
		RotateR(parent);

		if (bf == 1) //插入的是右边
		{
			SubLR->_bf = 0;
			SubL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1) //插入的是左边
		{
			SubLR->_bf = 0;
			SubL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0) //刚好原来parent的左边就两个节点
		{
			SubLR->_bf = SubL->_bf = parent->_bf = 0;
		}
		else  //原来就不是平衡树，出现问题
		{

			assert(false);
		}
	}

	void RotateRL(Node* parent)  //右左双旋
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;
		int bf = SubRL->_bf;

		RotateR(SubR);
		RotateL(parent);

		if (bf == 1)  //插入的是右边
		{
			SubRL->_bf = 0;
			SubR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1) //插入的是左边
		{
			SubRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			SubR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)  //原来parent的右边就两个节点
		{
			SubRL->_bf = SubR->_bf = parent->_bf = 0;
		}
		else //原来就有问题
		{
			assert(false);
		}
	}

	Node* _root = nullptr;
};

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2023年亚太杯APMCM数学建模大赛ABC题辅导及组队

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2023年亚太杯APMCM数学建模大赛 ABC题 一元线性回归分析类 回归分析&#xff08;Regression Analysis)是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。   – 按涉及变量个数划分   • 一元回归分析   • 多元回归分析   – 按自变量和因变量之间关…
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【Python从入门到进阶】41、有关requests代理的使用

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接上篇《40、requests的基本使用》 上一篇我们介绍了requests库的基本使用&#xff0c;本篇我们来学习requests的代理。 一、引言 在网络爬虫和数据抓取的过程中&#xff0c;我们经常需要发送HTTP请求来获取网页内容或与远程服务器进行通信。然而&#xff0c;在某些情况下&…
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【SpringSecurity6.x】会话管理

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只需在两个浏览器中用同一个账号登录就会发现，到目前为止，系统尚未有任何会话并发限制。一个账户能多处同时登录可不是一个好的策略。事实上，Spring Security已经为我们提供了完善的会话管理功能，包括会话固定攻击、会话超时检测以及会话并发控制。 理解会话 会话（sessi…
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