数学概率 | 旋转矩阵、欧拉角、四元数

news2024/11/27 22:45:17

一，旋转矩阵

二维旋转矩阵

三维旋转矩阵

二，欧拉角

三，四元数

四，矩阵、欧拉角、四元数相互转换

四元数转矩阵

矩阵转四元数

欧拉角转矩阵

矩阵转欧拉角

欧拉角转四元数

四元数转欧拉角

一，旋转矩阵

二维旋转矩阵

R( $\theta$ ) = $\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$

推导，以二维平面为例旋转 $\theta$ ：

$x^{{}'}$ = cos( $\theta$ + $\alpha$ ) = cos $\theta$ cos $\alpha$ - sin $\theta$ sin $\alpha$ = cos $\theta$ * x - sin $\theta$ * y
$y^{{}'}$ = sin( $\theta$ + $\alpha$ ) = sin $\theta$ cos $\alpha$ + cos $\theta$ sin $\alpha$ = sin $\theta$ * x + cos $\theta$ * y

( $x^{{}'}$ , $y^{{}'}$ ) = (x , y) * $\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$ =（cos $\theta$ * x - sin $\theta$ * y ，sin $\theta$ * x + cos $\theta$ * y）

//Houdini vex 验证
matrix2 m = ch2('m');
vector2 p = set(@P.x, @P.y);
p *= m;

@P.x = p.x;
@P.y = p.y;

三维旋转矩阵

$R_{x}$ ( $\theta$ ) = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos\theta & sin\theta\\ 0& -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$

$R_{y}$ ( $\theta$ ) = $\begin{bmatrix} cos\theta & 0 & -sin\theta\\ 0 & 1 & 0\\ sin\theta& 0 & cos\theta \end{bmatrix}$

$R_{z}$ ( $\theta$ ) = $\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$

参考二维推导，如绕z轴旋转 $\theta$ ：

( $x^{{}'}$ , $y^{{}'}$ ，z) = (x , y , z) * $\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$ = （cos $\theta$ * x - sin $\theta$ * y ，sin $\theta$ * x + cos $\theta$ * y , z）

注，已经过Houdini vex 验证；

二，欧拉角

欧拉角(Euler Angle)，由著名数学家莱昂哈德·欧拉(1707-1783)提出，旨在用三个角度来表示刚体在三维空间的旋转，自身有一些局限性；

在坐标系中描述物体姿态的三个角，依据绕x轴Roll，绕y轴Pitch、绕z轴Yaw的三个角度旋转可还原描述的姿态；

由两种旋转方式（静态、动态，这两种方式的所获得的旋转矩阵转是一样的：

绕固定（参考）坐标轴旋转（静态），绕自身坐标轴旋转（动态），旋转轴会发生变化，按照不同的旋转轴顺序，所获欧拉角也不同；
如绕固定（参考）坐标轴X-Y-Z旋转角度对应 (α,β,γ) ，绕自身坐标轴Z-Y-X旋转角度也对应 (α,β,γ)，旋转矩阵为（注意坐标轴顺序）：

注，已经过Houdini vex 验证；

如欧拉角在俯仰角出现±90°，会出现万向锁现象，是欧拉角表征姿态的一个固有缺陷；

在进行姿态解算时往往会优先使用四元数方法进行描述；

三，四元数

四元数是由爱尔兰数学家Hamilton发明的，由1个实数加上3个复数组合而成，通常可以表示成 w + xi + yj + zk 或者（w，（x，y，z）），其中w、x、y、z都是实数；

对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转：

i，旋转代表Y轴与Z轴相交平面中，Y轴正向向Z轴正向的旋转（ $Y^{+} \rightarrow Z^{+}$ ）；
j，旋转代表Z轴与X轴相交平面中，Z轴正向向X轴正向的旋转（ $Z^{+} \rightarrow X^{+}$ ）；
k，旋转代表X轴与Y轴相交平面中，X轴正向向Y轴正向的旋转（ $X^{+} \rightarrow Y^{+}$ ）；
-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转；

q = w + xi + yj + zk

$\left\{\begin{matrix} i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1\\ ij=k,ji=-k\\ jk=i,kj=-i\\ ki=j,ik=-j\\ \end{matrix}\right.$

如绕某向量 K=( $K_{x}$ , $K_{y}$ , $K_{z}$ ) 旋转 $\theta$ ，则四元数为：

(x，y，z) = ( $K_{x}$ , $K_{y}$ , $K_{z}$ ) * $\sin \frac{\theta }{2}$
w = $\cos \frac{\theta }{2}$
且满足条件： $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ + $w^{2}$ =1