坐标系定义

本文定义的是右手直角坐标系，$x-y-z$轴分别为北-天-东。
从$A$坐标系到$B$坐标系是分别绕$y-z-x$轴，即天-东-北旋转$\psi -\theta -\gamma$。如果$A$是惯性系，$B$是机体系，则这三个角度分别为偏航角、俯仰角、横滚角。

图1 惯性系到机体系

方向余弦矩阵

设图1所示惯性系的三个轴上的单位向量分别为$$\vec{I}=[1,0,0{]}^T、\vec{J}=[0,1,0{]}^T、\vec{K}=[0,0,1{]}^T$$机体系的三个轴上的单位向量分别为$\vec{i}、\vec{j}、\vec{k}$。
将$\vec{i}$在惯性系下表示为$${\vec{i}}^g=[i_x^g,i_y^g,i_z^g{]}^T$$
其中的$i_x^g$就是向量$\vec{i}$在向量$\vec{I}$上的投影长度，可表示为$\vec{I}$点乘$\vec{i}$。
$$i_x^g=cos(\vec{I},\vec{i})=|\vec{I}||\vec{i}|cos(\vec{I},\vec{i})=\vec{I}\cdot \vec{i}$$
同理可以得出$${\vec{i}}^g=[\vec{I}\cdot \vec{i},\vec{J}\cdot \vec{i},\vec{K}\cdot \vec{i}{]}^T$$
可见$\vec{i}$在惯性系下的坐标就是向量$\vec{i}$点乘惯性系的三个轴的基准向量。
同理可以推导出$\vec{j}、\vec{k}$在惯性系下的坐标，因为$\vec{i}、\vec{j}、\vec{k}$和$\vec{I}、\vec{J}、\vec{K}$都是单位向量，所以方向余弦矩阵可表示如下：
$$[{\vec{i}}^g,{\vec{j}}^g,{\vec{k}}^g]=\left[\begin{array}{ccc}\vec{I}\cdot \vec{i}& \vec{I}\cdot \vec{j}& \vec{I}\cdot \vec{k}\\ \vec{J}\cdot \vec{i}& \vec{J}\cdot \vec{j}& \vec{J}\cdot \vec{k}\\ \vec{K}\cdot \vec{i}& \vec{K}\cdot \vec{j}& \vec{K}\cdot \vec{k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos (\vec{I},\vec{i})& cos(\vec{I},\vec{j})& cos(\vec{I},\vec{k})\\ \cos (\vec{J},\vec{i})& cos(\vec{J},\vec{j})& cos(\vec{J},\vec{k})\\ \cos (\vec{K},\vec{i})& cos(\vec{K},\vec{j})& cos(\vec{K},\vec{k})\end{array}\right]$$
所以，方向余弦矩阵的第一列就是机体系的$\vec{i}$向量（$x$轴）在惯性系下的坐标，同理，$y$轴和$z$轴就是第二列和第三列。

第一行呢？就是惯性系的的$\vec{I}$向量（$x$轴）在机体坐标系下的坐标，同理，$y$轴和$z$轴就是第二行和第三行。

通过这种方式我们可以轻松找出某一条轴的姿态坐标，非常方便。

因此我们可以理解为旋转矩阵和方向余弦矩阵是等价的，二者从不同的角度出发，得出了相同的姿态表示方法。