题目

416. 分割等和子集

中等

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数组   动态规划

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

提示：

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 100

思路一二都是基于动态规划来解释的。

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代码随想录 动态规划 理论基础https://www.bilibili.com/video/BV13Q4y197Wg/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=fa18c7bb110345953d1f71c2974a5da6代码随想录 01背包 解题方法https://www.bilibili.com/video/BV1cg411g7Y6/?spm_id_from=333.788&vd_source=fa18c7bb110345953d1f71c2974a5da6代码随想录 01背包 进阶解法 https://www.bilibili.com/video/BV1BU4y177kY/?spm_id_from=333.788&vd_source=fa18c7bb110345953d1f71c2974a5da6

思路和解题方法 一 （二维数组dp法）

1. 首先，计算数组 nums 的元素和，并判断是否为奇数，如果是，则无法平分成两个子集，直接返回 false。

2. 计算目标和 target，即每个子集的和应该为 sum / 2，同时判断数组 nums 中的最大值是否大于 target，如果是，则无法平分，直接返回 false。

3. 初始化一个大小为 n * (target+1) 的二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在前 i 个元素中是否能够找到一些元素的和等于 j。

4. 将第一列 dp[i][0] 全部初始化为 true，因为任何元素都可以不选，使其和为 0。

5. 将第一行 dp[0][nums[0]] 初始化为 true，因为只有第一个元素可以被选中，使其和为 nums[0]。

6. 从第二个元素开始遍历数组 nums，对于每个元素 nums[i]，从 1 到目标和 target 进行遍历，计算 dp[i][j] 的值。

7. 如果当前元素的值 nums[i] 大于当前的和 j，则不能将该元素加入到和为 j 的子集中，因此 dp[i][j] 的值与 dp[i-1][j] 相等。

8. 如果当前元素的值 nums[i] 小于等于当前的和 j，则可以将该元素加入到和为 j 的子集中。此时，需要考虑两种情况：选中当前元素或不选中当前元素。因此，dp[i][j] 的值等于 dp[i-1][j] 或 dp[i-1][j-nums[i]]。

9. 循环结束后，返回 dp[n-1][target] 的值，表示在前 n 个元素中是否能够找到一些元素的和等于目标和 target。

复杂度

        时间复杂度:

                O(n*target)

时间复杂度：

• 初始化动态规划数组：O(n * target)，其中 n 是数组的长度，target 是目标和的大小。
• 动态规划过程中的两层循环：O(n * target)。

因此，总体时间复杂度为 O(n * target)。

        空间复杂度

                O(n*target)

 空间复杂度：

• 动态规划数组：O(n * target)，用于存储子问题的解。

因此，总体空间复杂度为 O(n * target)。

c++ 代码 一

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if (n < 2) {
            return false;
        }
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0); // 计算数组元素的总和
        int maxNum = *max_element(nums.begin(), nums.end()); // 找到数组中的最大值
        if (sum & 1) { // 如果总和为奇数，则无法平分成两个子集
            return false;
        }
        int target = sum / 2; // 目标和为总和的一半
        if (maxNum > target) { // 如果最大值大于目标和，则无法平分
            return false;
        }
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(target + 1, 0)); // 创建二维动态规划数组
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i][0] = true; // 初始化第一列，表示任何元素都可以不选，使其和为0
        }
        dp[0][nums[0]] = true; // 初始化第一行，只有第一个元素可以被选中，使其和为nums[0]
        for (int i = 1; i < n; i++) { // 从第二个元素开始遍历数组
            int num = nums[i];
            for (int j = 1; j <= target; j++) { // 遍历目标和的范围
                if (j >= num) { // 如果当前和大于等于当前元素的值
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] | dp[i - 1][j - num]; // 可选方案为选中当前元素或不选中当前元素
                } else { // 如果当前和小于当前元素的值
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 只能选择不选中当前元素
                }
            }
        }
        return dp[n - 1][target]; // 返回最后一个元素对应的状态，表示是否能够找到一些元素的和等于目标和
    }
};

思路和解题方法 二（压缩二维 ☞ 一维）

1. 首先，定义了一个类 Solution，其中包含了一个公有成员函数 canPartition，该函数接受一个整数数组 nums，并返回一个布尔值。

2. 在函数内部，首先计算了数组 nums 中所有元素的和，并将结果存储在变量 sum 中。

3. 接下来，通过判断 sum 是否为奇数，来确定是否可以平分数组。如果 sum 是奇数，则无法平分，直接返回 false。

4. 如果 sum 是偶数，说明可以进行平分。将 sum 除以 2 得到目标值 target，即每个子集的和应该为 target。

5. 初始化一个大小为 10001（为题目数据大小*长度 / 2） 的数组 dp，用于存储动态规划过程中的中间结果。数组 dp 的索引表示当前的和，数组的值表示是否可以组成该和。

6. 接下来，使用两层循环遍历数组 nums 和目标值 target。外层循环遍历数组 nums，内层循环从 target 开始递减到当前元素的值 nums[i]。

7. 在内层循环中，更新数组 dp 的值。对于每个位置 j，比较 dp[j] 和 dp[j-nums[i]] + nums[i] 的大小，取较大值作为 dp[j] 的新值。这表示在考虑当前元素 nums[i] 时，可以得到的最大和为 dp[j]。

8. 循环结束后，判断数组 dp 的最后一个元素 dp[target] 是否等于 target。如果是，则说明可以找到一个子集使其和为 target，返回 true；否则，返回 false。

复杂度

        时间复杂度:

                O(n*target)

        时间复杂度为 O(n×target)，其中 n 是数组 nums 的长度，target 是数组 nums 中所有元素的和的一半。因为在内层循环中，需要遍历从 target 到 nums[i] 的所有可能的和，所以时间复杂度是 O(target)，外层循环需要遍历整个数组 nums，所以时间复杂度是 O(n)，因此总的时间复杂度是 O(n×target)。

        空间复杂度

                O(target)

        这段代码的空间复杂度为 O(target)，因为需要创建一个大小为 target+1 的数组 dp 来存储动态规划的中间结果。

c++ 代码 二

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0); // 计算数组 nums 的所有元素的和
        if (sum % 2 == 1) { // 如果和为奇数，则无法平分成两个子集，直接返回 false
            return false;
        }
        int target = sum / 2; // 计算目标和，即每个子集的和应该为 sum / 2
        vector<bool> dp(target + 1, false); // 初始化一个大小为 target + 1 的布尔型数组 dp，表示能否组成目标和
        dp[0] = true; // 初始状态：目标和为 0 时肯定可以组成
        for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) { // 遍历数组 nums
            for (int j = target; j >= nums[i]; --j) { // 从 target 开始递减到 nums[i]
                dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]]; // 更新 dp[j] 的值
            }
        }
        return dp[target]; // 返回 dp[target] 的值，表示是否能够组成目标和
    }
};

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