前言

• 记录一下，给自己长长记性，刚看到题目立马想出了一个$O(T\ast nk)$的暴力DP，想着构造个矩阵用快速幂优化为$O({\sum }_1^{T}k\ast log(n))$，结果构造一个小时发现貌似不太行，想假了，悲（
• 赛后做其他组合数的题突然想到这个题貌似也可以用组合数做，然后很快的就切了，以此题解铭记我坐了 3h 的牢
• 本题解只提供思路讲解和核心代码，其余代码需要自己实现

正文

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方格染色

小 M 正在处理染色问题！问题发生在一个由 2 × n 个 1 × 1 的小正方形方格组成的矩形纸条上，小 M 想要把矩形纸条的每个方格染成黑色或是白色。 但由于小 M 的视力不太好，若相邻两个方格都是黑色，小 M 会非常困惑。因此。他希望最后染色方 案中任意两个黑色方格均不相邻。同时，他还想知道在黑色方格恰好有 k 个的情况下，求出满足上述条 件的染色方案数对 998244353 取模的结果？

多测，$T\le 10^5，1\le n\le 10^5，0\le k\le 10^5$，保证$\sum k\le 5\ast 10^5$

思路讲解

• 用组合数做这个题，首先需要发现一个性质，如果我们把每一列看作是一个单独的整体
• $定义：我们把相邻列有黑色块的列看作是一个块$
• 那么这一个块内的不同摆放只有两种

• 发现这个性质后，我们可以考虑枚举一共有多少个块，然后把这些块拿出来，现在还剩n-k列，我们需要做的就是把这些块插到这n-k列中，然后形成的方案数就是答案了

• 那么怎么求方案数呢，这里先给出公式 ${\sum }_{d=1}^{k}C(k-1,d-1)\ast C(n-k+1,d)\ast 2^d$

• 这个公式是怎么推出来的呢？

• 首先我们枚举n列方格一共有多少的块，然后怎么求这些块形成的方案数呢，对于块数d，我们要做的就是把k列分成d个块，采用隔板法，即：现在有k个小球，你要在k个小球的之间放置d-1个隔板，使得分成d个非空集合，由于k个小球的缝的个数是k-1个（两边不可以插入），那么形成的方案应该是$C(k-1,d-1)$

• 由于每个块是不能相邻的（否则他们应该是一个块），现在需要把形成的d个块插入到原来的白色列的缝隙里，白色列的个数是n-k，那么缝数是n-k+1（两边可以插入），那么方案数就是$C(n-k+1,d)$

• 对于每个块有两种摆放方式，那么d个块有 $2^d$ 种摆放方式

• 之后我们只需要把不同的d的方案数累计起来即可，在不考虑取模的情况下时间复杂度为 $O({\sum }_1^{T}k)$

Code

void solve(int Case) {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    if (k == 0) {  // 只有什么都不放一种方案
        cout << "1\n";
        return;
    }
    if (n < k) {  // k太大，放不下
        cout << "0\n";
        return;
    }

    modint ans = 0;
    for (int d = 1; d <= k; d++) {
        ans += C(k - 1, d - 1) * C(n - k + 1, d) * modint(2).pow(d);
    }
    cout << ans << "\n";
}