前言

我们对于图的存储方式常用的有邻接矩阵（适用于稠密图），对于边的查询效率较低，也有邻接表，对于边的查询效率高，但是会有扩容消耗，用数组实现也不好控制内存。而我们有一种中庸的数据结构叫做前向星，用类似邻接表的结构对其加以改造，就得到了一种效率得到极大提升的链式前向星。

前向星

定义

把图中所有的边存储在连续的数组中，按照边的起点进行排序，我们称这种对边的存储方式为前向星

前向星其实就是按照边的起点进行排序的边集数组

存储结构

以该图为例

如下就是该图边集的前向星表示形式，idx为数组下标，边存储了边的起点u，中点v和权值w

优缺点

实现简单，但是将所有边插入的基础上进行了一次排序，带来了时间开销，实用性较差，一旦有新边插入就要再次排序，只适用于离线算法。

链式前向星

链式前向星是一种用于存储和处理稀疏图的数据结构，并且在实际应用中通常比邻接矩阵更加高效。其思想就是用静态链表来实现邻接表。

邻接表的每个位置都是一个链表，代表下表i发出的所有边，但是vector带来扩容开销，数组实现又要内存控制，也有一定开销，我们就想到了初学时看似鸡肋的静态链表，即以下一条边的下标索引代替下一条边的指针，同时维护head数组，head[ i ]代表i发出边的链表的头节点下标，这样我们可以实现像邻接表插入那样的伪头插。

具体实现我们需要edges数组存储边，head数组存储i发出的边链头节点在edges中下标，edgecount当前的边的数目，maxn最大边的存储数目

边的定义

typedef int W;
struct Edge
{
    int _u;
    int _v;
    W _w;
    int _next;
} edges[maxn];

边的插入

void addEdge(int u, int v, W w)
{
    edges[edgecount]._u = u;
    edges[edgecount]._v = v;
    edges[edgecount]._w = w;
    edges[edgecount]._next = head[u];//head初始所有值为-1
    head[u] = edgecount++;//edgecount初始为1
}

这其实就是一个静态链表的头插，显然整个插入过程时间复杂度为O(1)

边的查找

我们只要从head中拿到结点vertex边链的头节点下标，然后不断访问_next，直到-1为止

（我们初始化head所有值为-1，~i为结束条件即-1补码取反是0）

    for (int i = head[vertex]; ~i; i = edges[i]._next)
    {
        //...
    }

运行示例

    memset(head, -1, sizeof(head));

    int vertex = 0;
    addEdge(1, 2, 1);
    addEdge(2, 3, 2);
    addEdge(3, 4, 3);
    addEdge(1, 3, 4);
    addEdge(4, 1, 5);
    addEdge(1, 5, 6);
    addEdge(3, 5, 7);

    for (int vertex = 1; vertex <= 4; vertex++)
    {
        for (int i = head[vertex]; ~i; i = edges[i]._next)
        {
            cout << vertex << "->" << edges[i]._v << ":" << edges[i]._w << " ";
        }
        cout << endl;
    }

总结

在工程中邻接表显然比链式前向星更为实用，但是对于OJ题目而言，链式前向星省去了vector的扩容开销同时提高了一些效率，还是很有用的。