前置知识回顾

详见http://t.csdnimg.cn/NHFGE

策略值函数估计（Policy Evaluation）

给定环境MDP和策略𝜋，策略值函数估计如下
$$\begin{array}{rl}{V}^{\pi }(s)& =\mathbb{E}[R(s_0,a_0)+\gamma R(s_1,a_1)+{\gamma }^{2}R(s_2,a_2)+\cdots |s_0=s,\pi ]\\ & ={\mathbb{E}}_{a\sim \pi (s)}\left[R(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }\in S}{P}_{s\pi (s)}(s^{\prime })V^{\pi }(s^{\prime })\right]\\ & ={\mathbb{E}}_{a\sim \pi (s)}[Q^{\pi }(s,a)]\\ Q^{\pi }(s,a)& =\mathbb{E}[R(s_0,a_0)+\gamma R(s_1,a_1)+{\gamma }^{2}R(s_2,a_2)+\cdots |s_0=s,a_0=a,\pi ]\\ & =R(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }\in S}{P}_{s\pi (s)}(s^{\prime })V^{\pi }(s^{\prime })\end{array}$$

策略提升（Policy Improvement）

• 对于两个策略𝜋，𝜋′，如果满足如下性质，𝜋′是𝜋的策略提升：
• 对于任何状态𝑠，有$$Q^{\pi }(s,{\pi }^{\prime }(s))\ge V^{\pi }(s)$$
• 进而， 𝜋和𝜋′满足：对任何状态𝑠，有$$V^{{\pi }^{\prime }}(s)\ge V^{\pi }(s)$$
• 也即是 𝜋′的策略价值（期望回报）超过𝜋， 𝜋′比𝜋更加优秀。
  证明：
  $$\begin{array}{rl}{v}_{\pi }(s)& \le q_{\pi }(s,{\pi }^{\prime }(s))\\ & =\mathbb{E}[R_{t+1}+\gamma v_{\pi }(S_{t+1})\mid S_t=s,A_t={\pi }^{\prime }(s)]\\ & ={\mathbb{E}}_{{\pi }^{\prime }}[R_{t+1}+\gamma v_{\pi }(S_{t+1})|S_t=s]\\ & \le {\mathbb{E}}_{{\pi }^{\prime }}[R_{t+1}+\gamma q_{\pi }(S_{t+1},{\pi }^{\prime }(S_{t+1}))|S_t=s]\\ & ={\mathbb{E}}_{{\pi }^{\prime }}[R_{t+1}+\gamma \mathbb{E}[R_{t+2}+\gamma v_{\pi }(S_{t+2})|S_{t+1},A_{t+1}={\pi }^{\prime }(S_{t+1})]\mid S_t=s]\\ & ={\mathbb{E}}_{{\pi }^{\prime }}[\begin{array}{cc}{R}_{t+1}+\gamma R_{t+2}+{\gamma }^2{v}_{\pi }(S_{t+2})& S_t=s]\end{array}\\ & \le {\mathbb{E}}_{{\pi }^{\prime }}[R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+{\gamma }^2{R}_{t+3}+{\gamma }^3{v}_{\pi }(S_{t+3})|S_t=s]\\ & ⋮\\ & \le {\mathbb{E}}_{{\pi }^{\prime }}[R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+{\gamma }^2{R}_{t+3}+{\gamma }^3{R}_{t+4}+\cdots |S_t=s]\\ & =v_{{\pi }^{\prime }}(s).\end{array}$$

模型（Model）

在强化学习中，无特殊说明的话，模型通常指的是环境模型，而非智能体模型。
定义：给定一个状态和动作，模型能够预测下一个状态和奖励的分布: 即$\mathcal{P}(s^{\prime },r|s,a)$
模型的分类

• 分布模型(distribution model)
  • 描述了轨迹的所有可能性及其概率
  • 相当于白盒模型
• 样本模型(sample model)
  • 根据概率进行采样，只产生一条可能的轨迹
  • 相当于黑盒模型

模型的作用

• 得到模拟的经验数据(simulated experiences)
  

规划(Planning)

定义：输入一个模型，输出一个策略的搜索过程
规划的分类：

• 状态空间的规划 (state-space planning)
  • 在状态空间搜索最佳策略
• 规划空间的规划 (plan-space planning)
  • 在规划空间搜索最佳策略，包括遗传算法和偏序规划
  • 这时，一个规划就是一个动作集合以及动作顺序的约束
  • 这时的状态就是一个规划，目标状态就是能完成任务的规划

规划的通用框架

• 通过模型采样得到模拟数据
• 利用模拟数据更新值函数从而改进策略
  
  规划的好处
• 任何时间点可以被打断或者重定向
• 在复杂问题下，进行小而且增量式的时间步规划是很有效的

规划与学习(Planning and Learning)

• 不同点
  • 规划：利用模型产生的模拟经验
  • 学习：利用环境产生的真实经验
• 相同点
  • 通过回溯(back-up)更新值函数的估计
  • 统一来看，学习的方法可以用在模拟经验上

注意：Q-learning用的是真实环境产生的经验数据，而Q-planning则是利用模型产生的模拟经验。

Dyna (集成规划、决策和学习）

通过于环境交互产生的经验可以有以下两种途径：

• 用于更新模型
  • 模型学习, 或间接强化学习
  • 对经验数据的需求少
• 用于直接更新值函数和策略
  • 直接强化学习（无模型强化学习）
  • 简单且不受模型偏差的影响

Dyna的框架

• 和环境交互产生真实经验
• 左边代表直接强化学习
  • 更新值函数和策略
• 右下角落边代表学习模型
  • 使用真实经验更新模型
• 右边代表基于模型的规划
  • 基于模型随机采样得到模拟经验
  • 只从以前得到的状态动作对随机采样
  • 使用模拟经验做规划更新值函数和策略

Dyna伪代码

Example1：Dyna Maze

环境
• 4个动作(上下左右)
• 碰到障碍物和边界静止
• 到达目标（𝐺），得到奖励+1
• 折扣因子 0.95
结果
• 横轴代表游戏轮数
• 纵轴代表到达 𝐺 花的时间步长
• 不同曲线代表采用不同的规划步长
• 规划步长越长，表现收敛越快

那么为什么Dyna算法会更快呢？

通过更多的sample，可以使得策略更优，更容易靠近终点。

模型不准？
原因：

• 环境是随机的，并且只观察到了有限的样本
• 模型使用了泛化性不好的函数估计
• 环境改变了，并且还没有被算法检测到

Example2：Blocking Maze

Dyna-Q+：

• 奖励更改为$r+\kappa \sqrt{\tau }$
  • $r$原来的奖励
  • $\kappa$小的权重参数
  • $\tau$某个状态多久未到达过了

Example3：Shortcut Maze

Dyna-Q+能够发现捷径(鼓励探索)

代码

class DynaQ():
    def __init__(self, env, gamma, alpha, epsilon, numOfEpisodes, numOfTrainQLearning, numOfActions=4):
        self.env = env
        self.gamma = gamma
        self.alpha = alpha
        self.epsilon = epsilon
        self.numOfEpisodes = numOfEpisodes
        self.numOfActions = numOfActions
        # 初始化Q(s, a)表
        self.Q_table = np.zeros([self.env.nrows * self.env.ncols, numOfActions])
        # 初始化模型
        self.Model = dict()
        # Q-learning 训练次数
        self.numOfTrainQLearning = numOfTrainQLearning

    # Choose A from S using policy derived from Q (e.g., epsilon-greedy)
    def ChooseAction(self, state):
        if np.random.random() < self.epsilon:
            action = np.random.randint(self.numOfActions)
        else:
            action = np.argmax(self.Q_table[state])
        return action

    def DynaQRun(self):
        # 记录每一条序列的回报
        returnList = []
        # 显示10个进度条
        for i in range(10):
            # tqdm的进度条功能
            with tqdm(total=int(self.numOfEpisodes / 10), desc='Iteration %d' % i) as pbar:
                # 每个进度条的序列数
                for episode in range(int(self.numOfEpisodes / 10)):
                    # initialize state
                    state = self.env.Reset()
                    done = False
                    episodeReward = 0
                    # Loop for each step of episode:
                    while not done:
                        # Choose A from S using policy derived from Q (e.g., epsilon-greedy)
                        action = self.ChooseAction(state)
                        # Take action A, observe R, S'
                        stateprime, reward, done = self.env.Step(action)
                        episodeReward += reward
                        # Update
                        TD_error = reward + self.gamma * self.Q_table[stateprime].max() \
                                 - self.Q_table[state, action]
                        self.Q_table[state,action] += self.alpha * TD_error
                        # 将数据添加到模型中
                        self.Model[(state, action)] = stateprime, reward
                        # Q-planning循环
                        for i in range(self.numOfTrainQLearning):
                            # 随机选择曾经遇到过的状态动作对
                            (s, a), (s_next, r) = random.choice(list(self.Model.items()))
                            # Q-plannnig
                            TD_error = r + self.gamma * self.Q_table[s_next].max() \
                                       - self.Q_table[s, a]
                            self.Q_table[s, a] += self.alpha * TD_error
                        state = stateprime
                    returnList.append(episodeReward)
                    if (episode + 1) % 10 == 0:  # 每10条序列打印一下这10条序列的平均回报
                        pbar.set_postfix({
                            'episode':
                                '%d' % (self.numOfEpisodes / 10 * i + episode + 1),
                            'return':
                                '%.3f' % np.mean(returnList[-10:])
                        })
                    pbar.update(1)
        return returnList

结果

Q-planning训练次数为0

可以看到，当Dyna-Q的Q-planning训练次数为0时，Dyna-Q就退化成了Q-learning。

十次训练平均：

随着 Q-planning 步数的增多，Dyna-Q 算法的收敛速度也随之变快。当然，并不是在所有的环境中，都是 Q-planning 步数越大则算法收敛越快，这取决于环境是否是确定性的，以及环境模型的精度。在上述悬崖漫步环境中，状态的转移是完全确定性的，构建的环境模型的精度是最高的，所以可以通过增加 Q-planning 步数来直接降低算法的样本复杂度。

参考

[1] 伯禹AI
[2] https://www.deepmind.com/learning-resources/introduction-to-reinforcement-learning-with-david-silver
[3] 动手学强化学习
[4] Reinforcement Learning