38.红黑树（王道第7章查找补充知识）

news2024/12/27 11:25:50

一. 红黑树的定义

二. 红黑树的性质

三. 红黑树的插入

四. 红黑树的删除(略)

一. 红黑树的定义

红黑树是二叉排序树-左子树结点值≤根结点值≤右子树结点值。

与普通BST相比，有以下要求：

①每个结点或是红色，或是黑色的
②根节点是黑色的
③叶结点（外部结点、NULL结点、失败结点）均是黑色的
④不存在两个相邻的红结点（即红结点的父节点和孩子结点均是黑色)
⑤对每个结点，从该节点到任一叶结点的简单路径上，所含黑结点的数目相同

struct RBnode { //红黑树的结点定义
    int key; //关键字的值
    RBnode* parent;  //父节点指针
    RBnode* lchild;  //左孩子指针
    RBnode* rchild;  //右孩子指针
    int color;  //结点颜色，如:可用0/1表示黑/红，也可使用枚举型enum表示颜色
};

结点的黑高bh：从某结点出发（不含该结点）到达任一空叶结点的路径上黑结点总数，如图：

红黑树的黑高：指根结点的黑高。

二. 红黑树的性质

性质1：从根结点到叶结点的最长路径不大于最短路径的2倍

证明：可由性质4，5推出。

性质2：有n个内部节点的红黑树高度 $h\leq 2log_2(n+1)$

证明：从根到叶结点的任何一条简单路径上至少有一半是黑结点，根的黑高至少是 $h/2$ ，于是有 $n\geq 2^{h/2}-1$ ，得证。

性质3：根节点黑高为h的红黑树，内部结点数(关键字）至少有 $2^h-1$ 个

三. 红黑树的插入

先查找，确定插入位置（原理同二叉排序树），

（1）插入新结点新结点是根――染为黑色
（2）插入新结点非根结点――染为红色
        2.1 若插入新结点后依然满足红黑树定义，则插入结束
        2.2 若插入新结点后不满足红黑树定义，需要调整，使其重新满足红黑树定义。如何调整：看新结点叔叔（父结点的兄弟结点）的颜色：
        a.叔叔结点是黑色结点：旋转+染色
（此处操作类似平衡二叉树，从爷结点开始判断类型）LL型：右单旋，父换爷+染色；RR型：左单旋，父换爷+染色；LR型：左、右双旋，儿换爷+染色；RL型：右、左双旋，儿换爷+染色；

b.叔叔结点是红色结点：染色+变新→叔父爷染色，爷变为新结点

例题：从一棵空的红黑树开始，插入：20,10,5,30,40,57,3,2,4,35,25,18,22,23,24,19,18

（1）插入20；

（2）插入10；

（3）插入5：此时10和5都是红结点，不满足要求4，5的叔叔结点是黑色，且从爷结点开始5是LL结点，因此执行“右单旋：父换爷+染色”，让父亲结点充当爷爷结点，然后改变父亲结点，爷爷结点的颜色。这里10换成黑色，20换成红色。

（4）插入30：此时20和30都是红结点，不满足要求4，30的叔叔结点5是红色，执行“染色+变新”，把叔叔，父亲，爷爷结点统统调换颜色，然后把爷爷结点10视为新插入的结点，再递归的执行一遍规则。这里10就是根结点，所以把10再染黑即可。

（5）插入40：此时30和40都是红结点，违反了要求4，40的叔叔结点是黑色，并且40是RR型，执行“父换爷+染色”，30充当爷结点，20就只能挂在30左子树，然后把20，30的颜色交换。

（6）插入57：此时57和40都是红结点，不满足要求4，57的叔叔结点20是红色，执行“染色+变新”，把叔叔，父亲，爷爷结点统统调换颜色，然后把爷爷结点30视为新插入的结点，再递归的执行一遍规则。这里并没有违反红黑树的要求，所以不做任何操作。

（7）插入3：没有破坏红黑树的要求4，所以不做任何操作。

（8）插入2：此时2和3都是红结点，不满足要求4，2的叔叔结点是黑色，且从爷结点开始2是LL结点，因此执行“右单旋：父换爷+染色”，让父亲结点充当爷爷结点，然后改变父亲结点，爷爷结点的颜色。这里3换成黑色，5换成红色。

（9）插入4：此时5和4都是红结点，不满足要求4，4的叔叔结点2是红色，执行“染色+变新”，把叔叔，父亲，爷爷结点统统调换颜色，然后把爷爷结点3视为新插入的结点，再递归的执行一遍规则。这里并没有违反红黑树的要求4（对于非根结点），所以不做任何操作。

（10-12）插入35，25，18：没有破坏红黑树的要求4，所以不做任何操作。

（13）插入22：此时22和25都是红结点，不满足要求4，22的叔叔结点18是红色，执行“染色+变新”，把叔叔，父亲，爷爷结点统统调换颜色，然后把爷爷结点20视为新插入的结点，再递归的执行一遍规则。这里20也违反红黑树的要求4（对于非根结点），所以再看20的叔叔结点3，它是红色。所以执行“染色+变新”，爷爷结点10视为新插入的结点，它是根结点，直接涂黑即可。

（14）插入23：此时22和23都是红结点，不满足要求4，23的叔叔结点是黑色，且从爷结点开始23是LR结点，因此执行“左、右双旋，儿换爷+染色”，经历两次旋转让儿子结点充当爷爷结点，然后改变儿子结点，爷爷结点的颜色。这里23换成黑色，25换成红色。

（15）插入24：此时24和25都是红结点，不满足要求4，24的叔叔结点22是红色，执行“染色+变新”，把叔叔，父亲，爷爷结点统统调换颜色，然后把爷爷结点23视为新插入的结点，再递归的执行一遍规则。23的叔叔40是黑色，且23处于LR的位置，因此执行“左、右双旋，儿换爷+染色”，经历两次旋转让儿子结点充当爷爷结点，然后改变儿子结点，爷爷结点的颜色。这里23换成黑色，30换成红色。