1、用单纯形表求解线性规划

求解线性规划 $min-3x_1-4x_2+x_3$,
约束条件为
$2x_1+3x_2\le 12$
$5x_1+x_2+x_3=19$，
$x_1,x_2,x_3\ge 0$.

绘制单纯形表求解：

2、用matlab求解线性规划——linprog()函数

clc,clear,close all;
% 定义目标函数的系数向量
f = [-3; -4; 1];

% 定义不等式约束的系数矩阵和右侧常数向量
A = [2, 3, 0];
b = [12];

% 定义等式约束的系数矩阵和右侧常数向量
Aeq = [5, 1, 1];
beq = [19];

% 定义变量的边界
lb = zeros(3, 1); % 所有变量的下界都是0

% 使用linprog求解线性规划问题
[x, fval, exitflag, output, lambda]  = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb);

% 输出结果
fprintf('最小值为: %.4f\n', fval);
fprintf('x1 = %.4f, x2 = %.4f, x3 = %.4f\n', x(1), x(2), x(3));

fprintf('\n')
disp('输出结果（以分数形式显示）:')
fprintf('最小值为: %s\n', rats(fval));
fprintf('x1 =%s, x2 =%s, x3 =%s\n', rats(x(1)), rats(x(2)), rats(x(3)));

% 输出影子价格向量（以分数形式显示）
fprintf('影子价格向量为:\n');
disp(rats(lambda.ineqlin));

返回结果：

Optimal solution found.

最小值为: -17.1538
x1 = 3.4615, x2 = 1.6923, x3 = 0.0000

输出结果（以分数形式显示）:
最小值为:    -223/13    
x1 =     45/13    , x2 =     22/13    , x3 =       0      
影子价格向量为:
     17/13    

问题：

此处发现两个问题，主要体现在影子价格向量上：
1、影子价格少一个元素
2、影子价格向量元素和用代数公式法求解的结果差一个负号

通过查阅Mathworks官方文档，可以看到缺少负号并不是程序编写错误问题：

补充代码：显示出完整的影子价格向量

问题1的解决方法：需要将约束条件中的不等式全部写为等式。

因为将一个不等式和一个等式的约束条件传递给linprog函数时，它会计算一个相对较小的影子价格向量，其中包含了不等式约束的影响，而等式约束的影响通常不单独表示在影子价格向量中。

%% 约束条件全部为等式
disp('求解完整的影子价格向量：')
% 定义目标函数的系数向量
f = [-3; -4; 1];

% 定义不等式约束的系数矩阵和右侧常数向量
A = [2, 3, 0; 5, 1, 1];
b = [12; 19];

% 定义变量的边界
lb = zeros(3, 1); % 所有变量的下界都是0

% 使用linprog求解线性规划问题
[x, fval, exitflag, output, lambda] = linprog(f, A, b, [], [], lb);

% 输出结果
fprintf('最小值为: %.4f\n', fval);
fprintf('x1 = %.4f, x2 = %.4f, x3 = %.4f\n', x(1), x(2), x(3));

% 输出影子价格向量
fprintf('影子价格向量为:\n');
disp(lambda.ineqlin);

fprintf('\n')
disp('输出结果（以分数形式显示）:')
fprintf('最小值为: %s\n', rats(fval));
fprintf('x1 =%s, x2 =%s, x3 =%s\n', rats(x(1)), rats(x(2)), rats(x(3)));

% 输出影子价格向量（以分数形式显示）
fprintf('影子价格向量为:\n');
disp(rats(lambda.ineqlin));
fprintf('\n')

返回结果：

求解完整的影子价格向量：

Optimal solution found.

最小值为: -17.1538
x1 = 3.4615, x2 = 1.6923, x3 = 0.0000
影子价格向量为:
    1.3077
    0.0769

输出结果（以分数形式显示）:
最小值为:    -223/13    
x1 =     45/13    , x2 =     22/13    , x3 =       0      
影子价格向量为:
     17/13    
      1/13