文章目录
- 真值和机器数
- 无符号整数
- 无符号整数的定义
- 无符号整数的特征
- 无符号整数的表示范围
- 无符号整数的加法
- 无符号数的减法
- 有符号整数(定点整数)
- 有符号整数的定义
- 原码
- 原码的特点
- 反码
- 反码的特点
- 补码
- 补码的特点
- 快速求解n位负数补码的方法
- 为什么补码能够多表示一个范围(重点)
- 变形补码
- 移码
- 移码的特点
- 有符号数,无符号整数的范围表示
- 判断两个数的和是否溢出
- 无符号数和有符号数如何进行减法运算
- 原码,反码,移码,补码的互相转换
- 定点小数
- 定点整数和定点小数的原码定义
- 定点小数和定点整数的补码定义
- 移码的定义(目前还不懂)
- 可表示的不同数字的个数 和 可表示范围
- 原码,反码,补码表示的定点小数个数
- 负数反码和补码比较大小的方式(重要)
- 一个数什么时候可能会溢出
- 关于原反补运算的特点
- 十六进制数的取反
真值和机器数
真值:在日常的书写习惯中,往往用正、负号加绝对值表示数值,用这种形式表示的数值为真值。例如100D,-50D,-76O。
机器数:在计算机内部版使用的数,并且最高位表示符号的二进制数,又分为有符号数和无符号数。
无符号整数
无符号整数的定义
无符号整数:无符号整数即最高位不表示符号位,每一位都是数值位。
无符号整数的特征
无符号整数一般用来表示地址或者指针,因为地址不具有负的概念。
无符号整数的表示范围
n
位的无符号整数可表示
0
\color{red}{0}
0~
2
n
−
1
\color{red}{2^n-1}
2n−1的范围。
无符号整数的加法
无符号整数的加法,和普通的二进制加法没什么区别。
无符号数的减法
假设我们的mod是18,那么假设一个数是x,其在mod18下的补数就是18-x。
通过这种手段,我们可以将减法变成加法:前提是被减数>减数,即不溢出的情况下,可以得到正确的答案:例如9-3=[9+(18-3)]mod18=(9+15)mod18=(24)mod18=6。
而在无符号数的加法中,寄存器的位数实际上就已经充当了mod的作用,例如n位那么mod就是
2
n
\color{red}{2^n}
2n。
通过将B全部位取反,末尾加1我们就可以得到B的补数。这个过程就和得到补码C对应-C的补码的过程一样。
其中通过这种方式得到补数的原理是这样的:因为A+A的补数=mod。
而B全部位取反+B就等于一个全1的序列,那么再将上1,自然就等于mod了。
所以取反+1就为补数。
有符号整数(定点整数)
有符号整数的定义
定点整数:定点整数是纯整数,简单来说就是不含小数,小数点在数值位之后。
若数据X
的表示形式为X=
x 0 , x 1 x 2 . . . x n \color{red}{x_0,x_1x_2...x_n} x0,x1x2...xn其中 x 0 \color{red}{x_0} x0是符号位,剩下的数值位 x 1 \color{red}{x_1} x1~ x n \color{red}{x_n} xn是尾数, x n \color{red}{x_n} xn为最低有效位。
有符号整数分为:原码,反码,补码,移码。
原码
原码:最高位表示符号位,具有位权,可表示整数和小数。
原码的特点
优点:和真值的对应关系简单,直观,与真值的转换简单,用原码实现乘除运算比较简便,无论是正数原码还是负数原码,比较大小很容易判断。
缺点:
1.0
的表示不唯一,有两种方式表示真值0
,分别是(+0)00000000
和(-0)10000000
2.加减法运算比较复杂,这很好理解,如果不复杂当前计算机就不会使用补码运算了。
3.符号位不可以参与运算
反码
反码:最高位表示符号位,正数反码具有位权,负数反码无位权,可表示整数和小数。
反码的特点
缺点:
1.0的表示不唯一,00000000(+0)和11111111(-0)
2.表示范围比补码小,在计算机中很少使用,一般用作数码变换的中间形式(其实也就是原反补变换的中间形式)
4.符号位不可以参与运算
补码
最高位表示符号位,正数补码具有位权,负数补码无位权。可表示整数和小数。
补码的特点
优点:
0
的表示唯一,即+0(00000000)
符号位和数值位可以参与运算
缺点:
负数补码不容易判断大小。
快速求解n位负数补码的方法
这里的最高位就是符号位,因为负数补码的符号位固定为1,所以假设总共有4位。可以看出真值
−
2
n
\color{red}{-2^n}
−2n的补码就是按照权重找到对应位,然后将这一位和这一位左边全置1就能得到。
并且还能看出一个特征,即负数补码的数值位越大,真值越大。
对于补码小数,上面的结论还能成立?
为什么补码能够多表示一个范围(重点)
首先,前提是机器字长为8
位,原码和反码在表示过程中是一一对应的,但是两者都具有一个冗余状态,原码的1000000
和反码的11111111
,这两个冗余状态通过原反补转换成补码时,因为溢出原因会变成0000 0000
,这就导致补码中的0只有一种表示方式,这就导致补码的1000 0000
这个状态没有数字可以表示,但是通过原反补的规则,因为溢出问题的存储,原码和反码的任何一个状态都不可能转换为1000 0000
,所以计算机规定原码为1000 0000
和反码的1111 1111
转换为补码时,直接映射成1000 0000,补码的1000 0000
不需要经过原反补转换,解释的时候直接解释为1000 0000
。
变形补码
移码
移码:不具有位权,常用来表示浮点数的阶码,只能表示整数。
移码的特点
优点:
1.只有一种方式表示0
,即(+0)1000 0000
。
2.符号位为1
表示真值为正,符号位为0
表示真值为负。
3.从下面这个图可以看出,移码的递增有点类似无符号整数,所以移码很方便硬件电路对比大小。
x的移码和-x的移码转变似乎也是全部位按位取反,末尾加1,这个不知道准不准确。
有符号数,无符号整数的范围表示
注意:定点小数虽然说能够表示这么大的范围,但是不是范围里的每个数字都能够使用定点小数准确表示出来,因为其不是和定点整数一样从0开始每次递增的。
定点整数中,补码比原码和反码多表示一个 − 2 n \color{red}{-2^n} −2n,注意是只多表示这一个数字,因为二进制整数每次的差距至少为
1
定点小数中,补码比原码和反码同样也只是多表示了-1
这一个数字。
一定要注意,这里是只,不论是定点整数还是小数,补码都只是比原码多表示了一个数字。
判断两个数的和是否溢出
题目一:机器字长8位,两个数字用原码表示,A是原码表示的-64,B是原码表示的-64,两者的结果同样用原码表示,是否会溢出?
答案是会的,因为原码只能表示-127-127
题目二:机器字长8位,两个数字用补码表示,A是补码表示的-64,B是补码表示的-64,两者的结果同样用补码表示,是否会溢出?
答案是不会,因为补码可以表示-128,127
无符号数和有符号数如何进行减法运算
无论是无符号整数,还有补码, 在求-x的时候,都是如下的操作。
方法:将减数进行求补,然后将负号改为正号,被减数和求补以后的减数相加。
求补有两种方法:
方法一:全部位按位取反,末尾+1
方法二:从右往左找到第一个1,将这个1左侧的所有位(不包括这个1)全部取反。
为什么要使用加法电路来完成减法?
加法电路造价便宜,判断比较容易。
事实上,无符号的减法我们不是一定要通过上述方式完成,因为无符号是不具有符号位的,上述方式是计算机内部无符号的计算方式,如果是我们手算,我们可以直接两个数相减即可。不用进行什么取补然后减法变加法的操作。
原码,反码,移码,补码的互相转换
定点小数
定点小数:定点小数是纯小数,简单来说就是不含整数,小数点在符号位之后,数值位之前。若数据X的表示形式为X= x 0 , x 1 x 2 . . . x n \color{red}{x_0,x_1x_2...x_n} x0,x1x2...xn其中 x 0 \color{red}{x_0} x0是符号位,剩下的数值位 x 1 \color{red}{x_1} x1~ x n \color{red}{x_n} xn是尾数, x 1 \color{red}{x_1} x1为最高有效位。
定点整数和定点小数的原码定义
纯小数(假设机器字长为n+1位):
当
x
≥
0
\color{red}{x \geq 0}
x≥0 时,当
x
≥
0
\color{red}{x \geq 0}
x≥0 时,
x
\color{red}{x}
x的原码可由真值
x
\color{red}{x}
x通过二进制转换得到。
当
x
≤
0
\color{red}{x \leq 0}
x≤0 时,
x
\color{red}{x}
x的原码需要由
1
+
∣
x
∣
\color{red}{1+|x|}
1+∣x∣以后的真值通过二进制转换得来。
当真值等于0
的时候,因为定点小数的原码具有两种形式,所以同样可以使用上述两种方式,分别是0000000
和10000000
例如:
当机器字长为8位时,当x=0.5时,其原码由0.5转换而来,结果为0.1000000
当x=-0.5时,其原码由1-(-0.5)=1+0.5=1.5转换而来,结果为1.1000000
纯整数(假设机器字长为n+1位):
当
x
≥
0
\color{red}{x \geq 0}
x≥0 时,
x
\color{red}{x}
x的原码可由真值
x
\color{red}{x}
x通过二进制转换得到。
当
x
≤
0
\color{red}{x \leq 0}
x≤0 时,
x
\color{red}{x}
x的原码需要由
2
n
+
∣
x
∣
\color{red}{2^n+|x|}
2n+∣x∣以后的真值通过二进制转换得来。
真值为正时,很好理解,可以直接通过二进制转换得到原码。
真值为负时,因为符号的原因,所以需要对真值取绝对值并且加上
2
n
\color{red}{2^n}
2n,其本质就是加上二进制最高位的符号位。
当真值等于0时,因为定点原码的真值具有两种表现形式,00000000和1000000所以真值0变成原码的时候也可以使用上述两种方式。
例如:
当机器字长为8时,当x=5时,5的原码由真值5转换得来,结果为为0.0000101
当x=-5时,-5的原码由
2
8
−
(
−
5
)
=
2
8
+
5
\color{red}{2^8-(-5)=2^8+5 }
28−(−5)=28+5真值转换而来,结果为
1.0000101
总结:
真值为正时,原码可以由真值直接转换得来。
真值为负时,需要对真值取绝对值并加上对应机器字长二进制对应的符号位,小数就直接加上1即可,整数就加上二进制最高位对应的真值。然后用真值转换成原码。
本质都是通过真值加上某个数,从而修改对应二进制的符号位,将符号位的0变成1。
这里的定义,其实本质上就是如果通过真值,不考虑符号位的情况下,直接转换二进制得到对应的原码。因为实际上真值为负时,我们可以通过符号位取1的方式,然后按照原反补的方式得到原码,而这种定义方式就是不靠这种方法,因为最终通过定义,真值变成了正数,这时候就不需要考虑符号位了,并且因为正数的原反补相同。
定点小数和定点整数的补码定义
假设机器字长为n+1
位。
定点整数的补码定义:
当真值为正时,补码直接由真值通过二进制转换得到
当真值为负时,补码需要由
2
n
+
1
−
∣
真值
∣
\color{red}{2^{n+1}-|真值| }
2n+1−∣真值∣的结果通过二进制转换得到。
实际上就是mod-真值的绝对值。当有n
位时,mod
就是
2
n
\color{red}{2^n}
2n
这里的定义,其实本质上就是如果通过真值,不考虑符号位的情况下,直接转换二进制得到对应的补码。因为实际上真值为负时,我们可以通过符号位取1的方式,然后按照原反补的方式得到补码,而这种定义方式就是不靠这种方法。因为最终通过定义,真值变成了正数,这时候就不需要考虑符号位了,并且因为正数的原反补相同。
移码的定义(目前还不懂)
移码本质就是加了一个偏执常量,当机器字长为n+1时,真值为x的移码,需要由x+ 2 n \color{red}{2^{n}} 2n转换得到。这时偏执常量就是 2 n \color{red}{2^n} 2n
可表示的不同数字的个数 和 可表示范围
可表示的数字个数:是站在状态上来进行思考的,一个二进制可以表示2种状态,n个二进制位就可以表示
2
n
\color{red}{2^n}
2n个状态,当然原码和反码会少1个。
可表示的范围:是站在位权来进行考虑的,因为二进制的位权是从0开始,只有正/负原码,正数反码和补码可以这样计算使用位权来计算范围。但是负数的补码和反码不能这样计算范围,因为其没有位权这个。
原码,反码,补码表示的定点小数个数
假设机器字长为n+1
,站在状态的角度上,可以表示
2
n
+
2
n
\color{red}{2^n+2^n}
2n+2n个状态,但是由于0有两种表示,所以有状态重叠,所以只能表示
2
n
+
2
n
=
2
n
+
1
−
1
个不同数字
\color{red}{2^n+2^n=2^{n+1}-1个不同数字}
2n+2n=2n+1−1个不同数字,反码也是如此。
补码因为没有状态重叠,所以可以表示
2
n
+
1
\color{red}{2^{n+1}}
2n+1个不同的状态。
负数反码和补码比较大小的方式(重要)
负数反码和原码比较只需要遵循一个原则:数值位越大,真值越大。
一个数什么时候可能会溢出
一个数只有在全1
的时候再加1
或者大于1
的数才会溢出。
关于原反补运算的特点
实际上正数原码和反码,补码的符号位都可以参与运算,因为补码的符号位可以参与运算,所以正数原码和反码也可以,但是负数的原码和反码无法做到符号位参与运算,所以计算机中的加减法在不对符号位处理的前提下只能由补码完成。
十六进制数的取反
十六进制数数位的取反=15-该数位的数字
例如F1取反以后变成0E。