四元数数学性质、运算规则、线性插值（公式版）

news2024/11/19 3:19:30

四元数

在这里插入图片描述

$\langle x, y, z, w \rangle$

$Q = x i + y j + z k + w$

1.运算与性质

1)数乘

$\cdot \langle x, y, z, w \rangle = \langle s \cdot z, s \cdot y, s \cdot z, s \cdot w \rangle$

$\frac{Q}{s} = \left( \frac{x}{s}, \frac{y}{s}, \frac{z}{s}, \frac{w}{s} \right)$

2）四元数加减法(Add,Substract)

$\langle x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, w_1 + w_2 \rangle$

$\langle x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2, w_1 - w_2 \rangle$

3) 模运算(Norm)

$\|Q\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + w^2}$

4)标准化(Normalize)

$Q_{\text{normalized}} = \frac{Q}{\|Q\|} = \frac{\langle x, y, z, w \rangle}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + w^2}}$

5)共轭(Conjugate)

$Q^* = \langle -x, -y, -z, w \rangle$

6)逆元 (Reverse)

$Q^{-1} = \frac{Q^*}{\|Q\|^2}$

7)四元数乘法(Mutiply)

$\begin{align*} Q_1 * Q_2 = \left( w_1w_2 - x_1x_2 - y_1y_2 - z_1z_2, \right. \\ \left. w_1x_2 + x_1w_2 + y_1z_2 - z_1y_2, \right. \\ \left. w_1y_2 - x_1z_2 + y_1w_2 + z_1x_2, \right. \\ \left. w_1z_2 + x_1y_2 - y_1x_2 + z_1w_2 \right) \end{align*}$

注意：在下文我们使用 · （点）来表示点乘或者数乘，使用 * (星)表示四元数乘法

7)欧拉角构造四元数

在欧拉角的值为角度时
$\begin{align*} \text{Yaw (}\psi\text{)} &\rightarrow \psi \\ \text{Pitch (}\theta\text{)} &\rightarrow \theta \\ \text{Roll (}\phi\text{)} &\rightarrow \phi \\ \end{align*}$
在值为弧度时
$\begin{align*} \text{Yaw (}\psi\text{)} &\rightarrow \frac{\text{Yaw (}\psi\text{)} \cdot \pi}{180} \\ \text{Pitch (}\theta\text{)} &\rightarrow \frac{\text{Pitch (}\theta\text{)} \cdot \pi}{180} \\ \text{Roll (}\phi\text{)} &\rightarrow \frac{\text{Roll (}\phi\text{)} \cdot \pi}{180} \\ \end{align*}$

变化后，求得四元数的四个分量
$\begin{align*} x &= \sin\left(\frac{\psi}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) - \cos\left(\frac{\psi}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \\ y &= \cos\left(\frac{\psi}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\psi}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \\ z &= \cos\left(\frac{\psi}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\psi}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) \\ w &= \cos\left(\frac{\psi}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\psi}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \\ \end{align*}$

如果需要对某个轴旋转特定角度
$\left(\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot a, \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot b, \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot c, \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$

8)四元数转欧拉角

$\begin{align*} \text{Yaw (}\psi\text{)} &\rightarrow \arctan2(2 \cdot (x \cdot y + z \cdot w), 1 - 2 \cdot (y^2 + z^2)) \\ \text{Pitch (}\theta\text{)} &\rightarrow \arcsin(2 \cdot (x \cdot z - w \cdot y)) \\ \text{Roll (}\phi\text{)} &\rightarrow \arctan2(2 \cdot (y \cdot z + x \cdot w), 1 - 2 \cdot (z^2 + y^2)) \end{align*}$
(注意：arctan2是一个被多种编程语言支持的反正切函数)

9）四元数点乘

$Q_1 \cdot Q_2 = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 + w_1 \cdot w_2$

我们可以通过这样的方式计算出两个四元数的夹角
$\theta = \arccos(Q_1 \cdot Q_2)$

当点积为0时，表明两个四元数正交
$Q_1 \cdot Q_2 = 0$
当四元数保持单位模时，表明为单位四元数
$\cdot Q = 1$

10)四元数普通线性插值

Lerp的公式如下

$Q_{\text{lerp}} = (1 - t) \cdot Q_1 + t \cdot Q_2$
这个插值被称为NLerp，也就是先进行线性插值,再进行标准化
$Q_{\text{nlerp}} = \frac{(1 - t) \cdot Q_1 + t \cdot Q_2}{\| (1 - t) \cdot Q_1 + t \cdot Q_2 \|}$
注意：此处的“点”均为“数乘”或“四元数点乘”

11) 四元数球面线性插值

$\alpha = \cos^{-1}(Q_1 \cdot Q_2)$

$Q_{\text{slerp}} = = \frac{\sin((1 - t) \cdot \alpha)}{\sin(\alpha)} \cdot Q_1 + \frac{\sin(t \cdot \alpha)}{\sin(\alpha)} \cdot Q_2$
注意：此处的“点”均为“数乘”或“四元数点乘”

12) 四元数转旋转矩阵

仿射变换旋转矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 - 2y^2 - 2z^2 & 2xy - 2wz & 2xz + 2wy \\ 2xy + 2wz & 1 - 2x^2 - 2z^2 & 2yz - 2wx \\ 2xz - 2wy & 2yz + 2wx & 1 - 2x^2 - 2y^2 \end{bmatrix}$

齐次坐标旋转矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 - 2y^2 - 2z^2 & 2xy - 2wz & 2xz + 2wy & 0 \\ 2xy + 2wz & 1 - 2x^2 - 2z^2 & 2yz - 2wx & 0 \\ 2xz - 2wy & 2yz + 2wx & 1 - 2x^2 - 2y^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

12）旋转矩阵转四元数

对于以下仿射变换旋转矩阵
$\begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} \end{bmatrix}$
或在齐次坐标下的旋转矩阵
$\begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} & 0 \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & 0 \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

都可以按以下方式获取四元数的四个部分
$\begin{cases} w = \sqrt{1 + R_{11} + R_{22} + R_{33}} \\ x = \frac{R_{32} - R_{23}}{4w} \\ y = \frac{R_{13} - R_{31}}{4w} \\ z = \frac{R_{21} - R_{12}}{4w} \end{cases}$

12)四元数叉乘

一般来讲四元数叉乘并没有意义，只是在某些特定的算法或情景中定义的全新的运算法则，而不具备广泛的实用性。可以根据需求调整叉乘的定义，这里不再给出相关信息。

2.运算律与定义

1).单位元(Identity)

规定单位元为
$Q_{identity} = \langle 0, 0, 0, 1 \rangle$

2).单位四元数

规定模长(Norm)为1为单位四元数

3).逆元

每个非零四元数都有一个逆元，相乘结果为单位元，注意前置条件
$\cdot Q^{-1}= Q_{identity}$

4).结合律

$(Q_1 \cdot Q_2) \cdot Q_3 = Q_1 \cdot (Q_2 \cdot Q_3)$

5).乘法交换率不成立

$Q_1 \cdot Q_2 \neq Q_2 \cdot Q_1$

6).乘法封闭性

四元数乘法是封闭的，也就是说，两个四元数的乘积仍然是四元数。

7).无万向节锁问题

"万向锁问题"是指在使用欧拉角来描述旋转时，存在一个特定情况，其中三个旋转轴的旋转角度不能独立地表示物体的方向，因为它们会相互影响。这会导致旋转的奇异性，使得无法准确描述物体的姿态。
四元数和旋转矩阵均无万向锁问题，但是矩阵需要占据很大的运算空间，有高昂的代价，而四元数解决这一问题的代价是升维，使得旋转失去了直观性和简单性。

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